Вычитание векторов

Обзорные статьи: Линейная операция и Вектор (геометрия)

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a – b

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ. subtraction of vectors), — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. При этом разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположный вектора, либо без. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым.

Определение

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минус:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} .$

Определение без использования противоположного вектора

Параллелограмм сложения и вычитания векторов

Следующее определение разности аналогично определению разности чисел.

Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов).

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения.

Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ любых двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, отложенных от одной точки, — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$, проведённый от конца вектора $\mathbf {b}$ к концу вектора $\mathbf {a}$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов).

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами:

• всегда выполнима;
• однозначна, то есть из $\mathbf {b} +\mathbf {x} =\mathbf {b} +\mathbf {y}$ следует $\mathbf {x} =\mathbf {y} .$

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов).

Противоположный вектор

Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору $\mathbf {a}$, обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа): $-\mathbf {a} .$

Также противоположный вектор можно определить как вектор $\mathbf {0} -\mathbf {a}$.

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов есть сумма векторов
c = a + (–b)

Из определения противоположного вектора следуют равенства:

$-(-\mathbf {a} )=\mathbf {a} ,\quad |-\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |,\quad \mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {0} .$

Определение с использованием противоположного вектора

Теорема 1.

$\mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )$

для любых векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ (см. рисунок справа).

Доказательство. Из определения разности векторов получаем:

$(\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} ,$$\quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {0} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ),$$\quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ).$

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом.

Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )$ (см. рисунки справа).

Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ любых двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )$, проведённый от начала вектора $\mathbf {a}$ к концу вектора $-\mathbf {b}$, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа).

Параллелограмм вычитания произвольных векторов: разность векторов строится как при помощи противоположного вектора, так и без

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:

$\mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a}$

для любых векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа).

Доказательство. Вычислим:

$\mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} +\mathbf {0} =\mathbf {a} .$

Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком.

Доказательство. Пусть

$\mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {c} .$

Тогда по теореме 2 получаем:

$\mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {c} .$

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел.

Правило раскрытия скобок

Теорема 4. Правило раскрытия скобок.

$(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=$

$=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).$

Доказательство

В силу определения разности двух векторов из исходного выражения получаем:

$(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=$

$=(\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n})).$

Обозначим эту сумму через $\mathbf {x}$ и опустим внешние скобки по сочетательному закону сложения векторов:

$\mathbf {x} =\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})+\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}).$

Несколько раз используем переместительный закон сложения векторов:

$\mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n}).$

Прибавим к обеим частям равенства сумму векторов

$(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})$

и используем законы сложения векторов:

$\mathbf {x} +(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})=$

$=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}$

${}+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n})+\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}=$

$=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}$

${}+(\mathbf {b} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {b} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {b} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}))=$

$=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+\mathbf {0} +\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =$

$=\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n}.$

По теореме 3 окончательно имеем:

$\mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).$

Модуль разности

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов:

$|\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |.$

В случае коллинеарных векторов:

• если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:

$|\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} |\geqslant |\mathbf {b} |;$

$|\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |,\quad |\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |.$

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже):

• $|\mathbf {a} -\mathbf {b} |<|\mathbf {a} |;$
• $|\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |;$
• $|\mathbf {a} -\mathbf {b} |>|\mathbf {a} |.$

Три случая величины модуля разности векторов: слева |a – b| < |a|, в центре |a – b| = |a|, справа |a – b| > |a|,

Имеет место следующее тождество:

$2|\mathbf {a} |^{2}+2|\mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}$,

другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора).

Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 232 с., ил.
• Вычитание // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 828.
• Вычитание // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 135.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Противоположный вектор // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 356.
• Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 176 с., ил.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.
• Разность векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 369.