Уравнение Кеплера

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

$E-e\,\sin E=M$$E-e\,\sin E=M$

где $E$$E$ — эксцентрическая аномалия, $e$$e$ — эксцентриситет орбиты, а $M$$M$ — средняя аномалия.

Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Варианты уравнения Кеплера

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при $0\leq e<1$$0\leq e<1$. Движение по гиперболическим орбитам $(e>1)$$(e>1)$ подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии $(e=1)$$(e=1)$ описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите $(e=1)$$(e=1)$ используют уравнение Баркера. При $e<0$$e<0$ орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению Кеплера

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

$r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}$$r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}$.

Здесь $r$$r$ — расстояние от тела до гравитирующего центра, $\vartheta$$\vartheta$ — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, $\mu =GM_{0}$$\mu =GM_{0}$ — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, $a$$a$ — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

$t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}}\int \limits _{0}^{\vartheta }r^{2}d\vartheta$$t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}}\int \limits _{0}^{\vartheta }r^{2}d\vartheta$.

Здесь $t_{0}$$t_0$ — время прохождения через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбита

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta }}}$$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta }}}$

Тогда уравнение для времени приобретает вид

$t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2}}{\sqrt {\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2}}}$$t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2}}{\sqrt {\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2}}}$

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

$\operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E}{2}}$$\operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E}{2}}$

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

$t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(E-e\sin E\right)$$t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(E-e\sin E\right)$

Величина ${\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}$${\sqrt {{\frac {\mu }{a^{3}}}}}$ является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

$E-e\sin E=M$$E-e\sin E=M$

Гиперболическая орбита

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: $x=-a\,\mathrm {ch} \,H$$x=-a\,{\mathrm {ch}}\,H$, $y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$$y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

$r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)$$r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)$,

а связь между $\vartheta$$\vartheta$ и $H$$H$

$\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{\frac {H}{2}}$$\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{\frac {H}{2}}$.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

$M=e\,\mathrm {sh} \,H-H$$M=e\,{\mathrm {sh}}\,H-H$

Величина $H$$H$ называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку $\mathrm {sh} \,H=-i\sin {iH}$${\mathrm {sh}}\,H=-i\sin {iH}$, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

$M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(E-e\sin E\right)$$M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(E-e\sin E\right)$.

Отсюда видно, что $E=iH$$E=iH$.

Параболическая орбита

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$

где $r_{\pi }$$r_{\pi }$ - расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

$t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2}}}$$t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2}}}$

Вводим универсальную тригонометрическую замену

$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2}},\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2}},\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

и преобразуем интеграл

$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}$$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}$

получаем окончательно

$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)$$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)$

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальная орбита

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует, значит

$v={\frac {dr}{dt}}$$v={\frac {dr}{dt}}$

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений

${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$

$v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h$$v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h$

- интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt {{\frac {2\mu }{r}}+h}}$${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt {{\frac {2\mu }{r}}+h}}$

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{\cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{\cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$

способ вычисления которого определяется знаком константы $h$$h$. Выделяют три случая

• $h<0$$h<0$ прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$

вычисляем интеграл

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Полагая $E=2\,u$$E=2\,u$, запишем результат

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E_{1}-E_{0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)$$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E_{1}-E_{0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)$

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра $r_{0}=0$$r_{0}=0$, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E-\sin E\right)$$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E-\sin E\right)$

где $E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu }}}$$E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu }}}$.

• $h=0$$h=0$ прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\cfrac {2\mu }{r}}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_{1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)$$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\cfrac {2\mu }{r}}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_{1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)$

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения

$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac {2}{3}}$$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac {2}{3}}$

• $h>0$$h>0$ прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, $v_{\infty }={\sqrt {h}}$$v_{\infty }={\sqrt {h}}$. Вводим замену

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {h}{{\rm {sh}}^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\rm {ch}}u\,du$${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {h}{{\rm {sh}}^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\rm {ch}}u\,du$

и вычисляем интеграл

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Полагая $H=2\,u$$H=2\,u$, получаем

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}\,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}\,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}H-H\right)$$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}H-H\right)$

где $H=2\,{\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu }}}$$H=2\,{\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu }}}$

Решение уравнения Кеплера

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

$E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n}}J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin {nM}$$E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n}}J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin {nM}$,

где

$J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\right)dE$$J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\right)dE$

— функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методы

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E₀ можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид:

$E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M$$E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M$

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом):

$H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e}}$$H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e}}$

Литература

• Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета.. — Москва: «Наука», 1990.
• В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
• Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 209. — С. 276.