Уравнение Кеплера

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

$~E-\varepsilon\sin E = M$

где $E$ — эксцентрическая аномалия, $\varepsilon$ — эксцентриситет орбиты, а $M$ — средняя аномалия.

Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Варианты уравнения Кеплера

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при 0 ≤ ε < 1. Движение по гиперболическим орбитам (ε > 1) подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии (ε = 1) описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите (ε = 1) используют уравнение Баркера. При ε < 0 орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению Кеплера

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

$r^2 \frac{d\upsilon}{dt} = const = \sqrt{\mu a \left(1-\varepsilon^2\right)}$.

Здесь r — расстояние от тела до гравитирующего центра, υ — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, μ = GM₀ — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, a — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

$t - t_p = \frac{1}{\sqrt{\mu a \left(1 - \varepsilon^2\right)}} \int\limits_0^\upsilon r^2 d\upsilon$.

Здесь t_p — время прохождение через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбита

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

$r = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos{\upsilon}}$

Тогда уравнение для времени приобретает вид

$t - t_p = \frac{\left(a\left(1-\varepsilon^2\right)\right)^{3/2}}{\sqrt{\mu}} \int\limits_0^\upsilon \frac{\upsilon}{(1 + \varepsilon\cos{\upsilon})^2}d\upsilon$

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

$~\operatorname{tg}\frac {\upsilon} {2} = \sqrt{\frac {1+\varepsilon} {1-\varepsilon}}\cdot\operatorname{tg}\frac {E} {2}$

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

$t - t_p = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(E - \varepsilon\sin E\right)$

Величина :$\sqrt{\frac{\mu}{a}}$ является средней скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина характеризует среднее смещение тела по орбите за период.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

$~E-\varepsilon\sin E = M$

Гиперболическая орбита

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: $x = -a\,\mathrm{ch}\,H$, $y = a \sqrt(\varepsilon^2 -1)\,\mathrm{sh}\,H$. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

$r = a \left(\varepsilon\,\mathrm{ch}\,H - 1\right)$,

а связь между υ и H

$\mathrm{tg}\,\frac{\upsilon}{2} = \sqrt{\frac{\varepsilon +1}{\varepsilon -1}}\,\mathrm{th}\,\frac{H}{2}$.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

$M = e\,\mathrm{sh}\,H - H$

Величина H называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку $\mathrm{sh}\,H = -i\sin{iH}$, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

$M = -ei\sin{iH} -H = i\left(iH - e\sin{iH}\right) = i\left(E-\varepsilon\sin E\right)$.

Отсюда видно, что E = iH.

Решение уравнения Кеплера

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M. Для круговой орбиты (ε = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

$E = M + 2\cdot\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n}J_n\left(n\varepsilon\right)\cdot\sin{nM}$,

где

$J_m\left(x\right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi \cos\left(mE - x\sin{E}\right) dE$

— функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методы

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E₀ можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид:

$E_{n+1}=\varepsilon \sin E_n+M$

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом):

$H_{n+1}=\operatorname{Ar sh}\frac{H_n+M}{\varepsilon}$

Литература

• Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. Москва, "Наука", 1990 г.
• В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. Век-2, 2006 г. ISBN 5-85099-168-9
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.