Уравнение Кеплера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

где  — эксцентрическая аномалия,  — эксцентриситет орбиты, а  — средняя аномалия.

Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Варианты уравнения Кеплера[править | править вики-текст]

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при . Движение по гиперболическим орбитам подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите используют уравнение Баркера. При орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению Кеплера[править | править вики-текст]

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

.

Здесь  — расстояние от тела до гравитирующего центра,  — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело,  — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела,  — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

.

Здесь  — время прохождения через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбита[править | править вики-текст]

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

Тогда уравнение для времени приобретает вид

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

Величина является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

Гиперболическая орбита[править | править вики-текст]

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: , . Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

,

а связь между и

.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

Величина называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку , то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

.

Отсюда видно, что .

Параболическая орбита[править | править вики-текст]

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

где - расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

Вводим универсальную тригонометрическую замену

и преобразуем интеграл

получаем окончательно

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальная орбита[править | править вики-текст]

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует[1], значит

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений

- интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу

способ вычисления которого определяется знаком константы . Выделяют три случая


  • прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену

вычисляем интеграл

Полагая , запишем результат

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра , и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения

где .


  • прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения


  • прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, . Вводим замену

и вычисляем интеграл

Полагая , получаем

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера

где

Решение уравнения Кеплера[править | править вики-текст]

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M[2]. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

,

где

функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методы[править | править вики-текст]

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона[3]. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид[2]:

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом)[2]:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Лукьянов Л. Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике, 2009, с. 70-71.
  2. 1 2 3 Балк М. Б. Решение уравнения Кеплера // Элементы динамики космического полета. — М.: Наука, 1965. — С. 111—118. — 340 с. — (Механика космического полета).
  3. Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Решение уравнения Кеплера // Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1972. — С. 63. — 336 с.


Литература[править | править вики-текст]

  • Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета.. — Москва: «Наука», 1990.
  • В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
  • Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 209. — С. 276.