Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.
Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

где
— эксцентрическая аномалия,
— эксцентриситет орбиты, а
— средняя аномалия.
Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.
Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при
. Движение по гиперболическим орбитам
подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии
описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите
используют уравнение Баркера. При
орбит не существует.
Задача, приводящая к уравнению Кеплера[править | править код]
Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что
.
Здесь
— расстояние от тела до гравитирующего центра,
— истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело,
— произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела,
— большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:
.
Здесь
— время прохождения через перицентр.
Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.
Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

Тогда уравнение для времени приобретает вид

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

Величина
является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.
Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:
,
. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид
,
а связь между
и
.
Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

Величина
называется гиперболической эксцентрической аномалией.
Поскольку
, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:
.
Отсюда видно, что
.
Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид
где
— расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории
Откуда получаем интеграл, определяющий время движения
Вводим универсальную тригонометрическую замену
и преобразуем интеграл
получаем окончательно
Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.
Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую
через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль
траектории и трансверсальная составляющая отсутствует[1], значит
Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических
соображений
— интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение
Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу
способ вычисления которого определяется знаком константы
. Выделяют три
случая
прямолинейно-эллиптическая орбита
Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и
удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно
начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической
орбите. Для вычисления интеграла введем замену
вычисляем интеграл
Полагая
, запишем результат
приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра
, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим
так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от
притягивающего центра со временем движения
где
.
прямолинейно-параболическая орбита
Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле
Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения
прямолинейно-гиперболическая орбита
Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость,
. Вводим замену
и вычисляем интеграл
Полагая
, получаем
Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое
радиальное уравнение Кеплера
где
Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M[2]. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:
,
где

— функция Бесселя.
Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.
Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона[3]. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид[2]:

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом)[2]:

- ↑ Лукьянов, Ширмин, 2009, с. 70—71.
- ↑ 1 2 3 Балк М. Б. Решение уравнения Кеплера // Элементы динамики космического полета. — М.: Наука, 1965. — С. 111—118. — 340 с. — (Механика космического полета).
- ↑ Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Решение уравнения Кеплера // Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1972. — С. 63. — 336 с.
- Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. — Москва: «Наука», 1990.
- В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
- Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
- Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 2009. — С. 276.
 |
---|
Научные достижения | | |
---|
Публикации | |
---|
Семья | |
---|