Уравнение Кеплера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

~E- e \, \sin E = M

где E — эксцентрическая аномалия, e — эксцентриситет орбиты, а M — средняя аномалия.

Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Варианты уравнения Кеплера[править | править вики-текст]

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при 0 \le e < 1. Движение по гиперболическим орбитам (e > 1) подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии (e = 1) описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите (e = 1) используют уравнение Баркера. При e < 0 орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению Кеплера[править | править вики-текст]

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

 r^2 \frac{d\vartheta}{dt} = {\rm const} = \sqrt{\mu a \left(1-e^2\right)}.

Здесь r — расстояние от тела до гравитирующего центра, \vartheta — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, \mu = G M_0 — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, a — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

t - t_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu a \left(1 - e^2\right)}} \int\limits_0^\vartheta r^2 d\vartheta.

Здесь t_0 — время прохождения через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбита[править | править вики-текст]

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\vartheta}}

Тогда уравнение для времени приобретает вид

t - t_0 = \frac{\left(a\left(1-e^2\right)\right)^{3/2}}{\sqrt{\mu}} \int\limits_0^\vartheta \frac{d\vartheta}{(1 + e\cos{\vartheta})^2}

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

~\operatorname{tg}\frac {\vartheta} {2} = \sqrt{\frac {1+e} {1-e}}\cdot\operatorname{tg}\frac {E} {2}

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

t - t_0 = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(E - e\sin E\right)

Величина :\sqrt{\frac{\mu}{a^3}} является средней скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина характеризует среднее смещение тела по орбите за период.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

~E-e\sin E = M

Гиперболическая орбита[править | править вики-текст]

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: x = -a\,\mathrm{ch}\,H, y = a \sqrt{e^2 -1}\,\mathrm{sh}\,H. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

r = a \left(e\,\mathrm{ch}\,H - 1\right),

а связь между \vartheta и H

\mathrm{tg}\,\frac{\vartheta}{2} = \sqrt{\frac{e +1}{e -1}}\,\mathrm{th}\,\frac{H}{2}.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

M = e\,\mathrm{sh}\,H - H

Величина H называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку \mathrm{sh}\,H = -i\sin{iH}, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

M = -ei\sin{iH} -H = i\left(iH - e\sin{iH}\right) = i\left(E-e\sin E\right).

Отсюда видно, что E = i H.

Параболическая орбита[править | править вики-текст]

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

r = \frac{2\,r_{\pi}}{1+\cos \vartheta}

где r_{\pi} - расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

r^2 \, \frac{d\vartheta}{dt} = {\rm const} = \sqrt{2\, \mu \, r_{\pi}}

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

t - t_0 = 2 \, r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{\vartheta} \frac{d\vartheta}{(1+\cos\vartheta)^2}

Вводим универсальную тригонометрическую замену

z = {\rm tg} \, \frac{\vartheta}{2}, \quad \vartheta = 2 \, {\rm arctg} \, z, \quad d\vartheta = \frac{2 \, dz}{1 + z^2}, \quad \cos\vartheta = \frac{1-z^2}{1+z^2}

и преобразуем интеграл

t - t_0 = 4 \, r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}} \frac{\cfrac{dz}{1+z^2}}{\left(1+\cfrac{1-z^2}{1+z^2}\right)^2} = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}} (1 + z^2) \, dz =  r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \left. \left(z + \frac{z^3}{3} \right) \right|_0^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}}

получаем окончательно

t - t_0 = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \left({\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2} + \frac{1}{3}{\rm tg^3 \,}\frac{\vartheta}{2} \right)

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальная орбита[править | править вики-текст]

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует[1], значит


v = \frac{dr}{dt}

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений


\frac{m \, v^2}{2} - \frac{m \, \mu}{r} = {\rm const}


v^2 = \frac{2\mu}{r} + h

- интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение


\frac{dr}{dt} = \pm \sqrt{\frac{2\mu}{r} + h}

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу


\mp \left(t_1 - t_0\right) = \int\limits_{r_0}^{r_1} 
\frac{dr}{\sqrt{\cfrac{2\mu}{r} + h}}

способ вычисления которого определяется знаком константы h. Выделяют три случая


  • h < 0 прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену


\frac{2\,\mu}{r} = \frac{-h}{\sin^2 u}, \quad u_0 = {\rm arcsin} 
\sqrt{\frac{-h\,r_0}{2\,\mu}}, \quad u_1 = {\rm arcsin} 
\sqrt{\frac{-h\,r_1}{2\,\mu}}, \quad dr = \frac{4\,\mu}{-h} \sin u \cos u \,du

вычисляем интеграл


\mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{4\,\mu}{-h\sqrt{-h}} 
\int\limits_{u_0}^{u_1} \sin^2 u \, du = \frac{2\,\mu}{-h\sqrt{-h}} 
\int\limits_{u_0}^{u_1} 
\left(1 - \cos{2u} \right) \, du 
 =\frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left. 
\left(2\, u - \sin 2u \right) \right|_{u_0}^{u_1}

Полагая E = 2\,u, запишем результат


\mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left(E_1 - E_0 
- \sin E_1 + \sin E_0 \right)

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра r_0 = 0, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения


t_1 - t_0 = \frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left(E - \sin E\right)

где E = 2 \arcsin \sqrt{\frac{-h\,r}{2\,\mu}}.


  • h = 0 прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле


\mp \left(t_1 - t_0\right) = \int\limits_{r_0}^{r_1} 
\frac{dr}{\sqrt{\cfrac{2\mu}{r}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2}{\mu}} \left( 
r_1 \sqrt{r_1} - r_0 \sqrt{r_0}\right)

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения


r(t) = \left[3 \sqrt{\frac{\mu}{2}} \left(t_1 - t_0 \right) 
\right]^{\frac{2}{3}}


  • h > 0 прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, v_{\infty} = \sqrt{h}. Вводим замену


\frac{2\,\mu}{r} = \frac{h}{{\rm sh}^2 u}, \quad u_0 = {\rm arcsh} 
\sqrt{\frac{h\,r_0}{2\,\mu}}, \quad u_1 = {\rm arcsh} 
\sqrt{\frac{h\,r_1}{2\,\mu}}, \quad dr = \frac{4\,\mu}{h} \, {\rm sh}  u \, {\rm ch} u \,du

и вычисляем интеграл


\mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{4\,\mu}{h\sqrt{h}} 
\int\limits_{u_0}^{u_1} {\rm sh}^2 u \, du = \frac{2\,\mu}{h\sqrt{h}} 
\int\limits_{u_0}^{u_1} 
\left({\rm ch}{2u} - 1 \right) \, du = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left. 
\left({\rm sh} 2u - 2\,u \right) \right|_{u_0}^{u_1}

Полагая H = 2\,u, получаем


\mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left({\rm sh} \, H_1 - {\rm sh} \, H_0 - H_1 + H_0 \right)

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера


t_1 - t_0 = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left({\rm sh} H  - H\right)

где H = 2 \, {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r}{2\,\mu}}

Решение уравнения Кеплера[править | править вики-текст]

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M[2]. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

E = M + 2\cdot\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n}J_n\left(n\, e \, \right)\cdot\sin{nM},

где

J_m\left(x\right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi \cos\left(mE - x\sin{E}\right) dE

функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методы[править | править вики-текст]

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона[3]. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид[2]:

E_{n+1}=e \, \sin E_n+M

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом)[2]:

H_{n+1}=\operatorname{Ar sh}\frac{H_n+M}{e}

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Лукьянов Л. Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике, 2009, с. 70-71
  2. 1 2 3 Балк М. Б. Решение уравнения Кеплера // Элементы динамики космического полета. — М.: Наука, 1965. — С. 111—118. — 340 с. — (Механика космического полета).
  3. Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Решение уравнения Кеплера // Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1972. — С. 63. — 336 с.


Литература[править | править вики-текст]

  • Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета.. — Москва: «Наука», 1990.
  • В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
  • Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 209. — С. 276.