Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии. Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Фаддеев Дмитрий Константинович, С. Эйленберг и С. Маклейн при изучении расширений групп.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

Цепной комплекс

Основная статья: Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль $M=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }M_{n}$ с дифференциалом $d:M\to M$, $d^{2}=0$, понижающим градуировку для цепного комплекса, $d(M_{n})\subset M_{n-1}$, или повышающим градуировку для коцепного комплекса, $d(M_{n})\subset M_{n+1}$.

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Основная статья: Резольвента (гомологическая алгебра)

Проективной резольвентой модуля $A$, называется левый комплекс $\ldots \longrightarrow X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}X_{n-1}\longrightarrow \ldots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0$, в котором все $X_{n}$ проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Tor_n(A, C) и Extⁿ(A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Литература

• А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
• С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
• Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
• Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.