Теорема о сумме углов треугольника

Треугольник

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии.

Формулировка

Сумма углов любого треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.

Доказательство

Пусть $\Delta {\mathcal {ABC}}$ — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Следствия

• В треугольнике не может быть двух тупых или двух прямых углов, потому что тогда сумма углов была бы больше 180°. По той же причине треугольник не может содержать тупой и прямой углы одновременно.
• У любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, случай, когда у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов, противоречит предыдущему следствию.
• В прямоугольном треугольнике оба угла при гипотенузе — острые.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому тупым может быть только угол, противолежащий основанию.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны (180° — 90°) /2 = 45°.
• В равностороннем треугольнике все три угла совпадают и поэтому равны 180° / 3 = 60°.
• (Теорема о внешнем угле треугольника) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Вариации и обобщения

Многоугольники

Основная статья: Теорема о сумме углов многоугольника

Обобщение для симплексов

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если $L_{ij}$ — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

${\begin{vmatrix}1&-\cos L_{12}&-\cos L_{13}&\dots &-\cos L_{1(n+1)}\\-\cos L_{21}&1&-\cos L_{23}&\dots &-\cos L_{2(n+1)}\\-\cos L_{31}&-\cos L_{32}&1&\dots &-\cos L_{3(n+1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\-\cos L_{(n+1)1}&-\cos L_{(n+1)2}&-\cos L_{(n+1)3}&\dots &1\\\end{vmatrix}}=0$.

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и $n+1$ вектор в $n$-мерном пространстве всегда линейно зависимы.

В неевклидовых геометриях

Сферический треугольник

Приведённое в этой статье доказательство опирается на определённое свойство параллельных прямых, а именно — утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Доказательство этого утверждения, в свою очередь, использует аксиому параллельности евклидовой геометрии. Можно показать, что любое доказательство теоремы о сумме углов треугольника будет использовать аксиому параллельности, и наоборот — из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вывести аксиому параллельности, если даны остальные аксиомы классической геометрии (абсолютная геометрия).

Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется:

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.

Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.

• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.