Уравнение состояния
Уравне́ние состоя́ния — соотношение, отражающее для конкретного класса термодинамических систем связь между характеризующими её макроскопическими физическими величинами, такими как температура, давление, объём, химический потенциал, энтропия, внутренняя энергия, энтальпия и др.[1] Уравнения состояния необходимы для получения с помощью математического аппарата термодинамики конкретных результатов, касающихся рассматриваемой системы[2]. Эти уравнения не содержатся в постулатах термодинамики, так что для каждого выбранного для изучения макроскопического объекта их либо определяют эмпирически, либо для модели изучаемой системы находят методами статистической физики[3]. В рамках термодинамики уравнения состояния считают заданными при определении системы[4]. Если изучаемый объект допускает термодинамическое описание, то это описание выполняют посредством уравнений состояния, которые для реальных веществ могут иметь весьма сложный вид.
О терминологии
[править | править код]Из множества уравнений состояния выделяются:
- уравнения состояния, выражающие интенсивные переменные состояния, входящие в фундаментальное уравнение Гиббса в энергетическом выражении и фундаментальное уравнение Гиббса энтропийном выражении, в виде функций от экстенсивных переменных состояния — аргументов соответствующего фундаментального уравнения Гиббса[5][6] (см. примечание[7]);
- термические уравнения состояния, выражающие связь между температурой, обобщёнными термодинамическими координатами (к которым в данном случае причислены количества составляющих систему веществ) и обобщёнными термодинамическими силами (к которым в данном случае причислены химические потенциалы составляющих систему веществ)[8][9]. Обычно под уравнениями состояния, если специально не оговаривается, подразумевают термические уравнения состояния[10]. Величины, входящие термическое уравнение состояния, именуют первичными термическими величинам;
- калорические уравнения состояния, отражающие связь между первичными калорическими величинами и первичными термическими величинами. В качестве первичных калорических величин обычно выступают термодинамические потенциалы[11] (чаще всего внутренняя энергия[3] и энтальпия[12][13][14][15]) и энтропия[12][11][15] как родоначальница ряда функций Массье — Планка;
- канонические уравнения состояния (фундаментальные уравнения Гиббса для термодинамических потенциалов), представляющие собой выражения для термодинамических потенциалов как функций их естественных независимых переменных[2][16].
В русскоязычной учебной литературе получила распространение более узкая трактовка понятий «термические уравнения состояния» и «калорическое уравнение состояния», позволяющая за счёт потери общности заметно упростить изложение рассматриваемого вопроса. А именно, в узком смысле под термическим уравнением состояния понимают зависимость обобщённой силы или химического потенциала от температуры , обобщённых координат и масс составляющих веществ [3][10]:
(выражение есть сокращение для перечисления переменных определённого типа, в данном случае — обобщённых координат). В узком смысле под калорическим уравнением состояния понимают зависимость от температуры и других первичных термических величин внутренней энергии [3]:
Общее число уравнений состояния (все термические плюс калорическое) термодинамической системы при таком подходе равно числу термодинамических степеней свободы системы, то есть числу независимых переменных, характеризующих состояние системы, а их полный набор необходим и достаточен для исчерпывающего описания термодинамических свойств системы[3].
Далее — если иное не оговорено особо — для большей наглядности речь будет идти об однородных закрытых термодеформационных системах в статическом (локальноравновесном) состоянии. Вариантность такой системы равна двум[3] (см. Правило Дюгема) и для её полного описания — помимо калорического уравнения состояния — требуется единственное термическое уравнение состояния. Простейшим примером такой системы служит газ в цилиндре с поршнем.
Термическое уравнение состояния
[править | править код]Термическое уравнение состояния (ТУС, термин введён Х. Камерлинг-Оннесом[19][20]) для закрытой термодеформационной системы связывает между собой её давление, объём и температуру; его общий вид можно записать так[21]:
(Термическое уравнение состояния, заданное как неявная функция) |
Или же так:
(Термическое уравнение состояния, заданное как иная неявная функция) |
Таким образом, чтобы задать термическое уравнение состояния необходимо конкретизировать вид функции .
Для идеального газа (как классического, так и квазиклассического) его термическое уравнение состояния известно как уравнение Клапейрона (уравнение Клапейрона — Менделеева)[14][22][23]:
где — универсальная газовая постоянная, — масса газа, — его молярная масса.
Для фотонного газа его давление зависит только от температуры, а термическое уравнение состояния выглядит так[24][25]:
(Термическое уравнение состояния фотонного газа) |
где a — радиационная постоянная.
Для макроскопических объектов, требующих от термодинамики учёта их магнитных и электрических свойств, термические уравнения состояния имеют следующий вид[1][26][27]:
(Термическое уравнение состояния магнетика) |
(Термическое уравнение состояния электрически поляризуемой среды) |
где — намагниченность вещества, — напряжённость магнитного поля, — поляризованность вещества, — напряжённость электрического поля.
Для упругого стержня (из изотропного материала) длиной L, на который действует сила F, направленная вдоль стержня, термическое уравнение состояния выглядит так[28]:
(Термическое уравнение состояния упругого стержня) |
Термические коэффициенты
[править | править код]Выражая одну из переменных в термическом уравнении состояния через две другие, для простой[29] закрытой системы в зависимости от выбора независимых переменных термическое уравнение состояния можно записать тремя способами[21][30]:
(Термическое уравнение состояния с независимыми переменными T и V) |
(Термическое уравнение состояния с независимыми переменными T и P) |
(Термическое уравнение состояния с независимыми переменными V и P) |
Запишем эти уравнения в дифференциальной форме[31]:
(Дифференциальное ТУС с независимыми переменными T и V) |
(Дифференциальное ТУС с независимыми переменными T и P) |
(Дифференциальное ТУС с независимыми переменными P и V) |
В приведённые уравнения входят шесть частных производных, которые попарно обратны друг другу:
поэтому самостоятельное значение имеют только три из них. В качестве основных обычно выбирают производные
- и
которые называют термическими коэффициентами[31][32]. Название отражает связь этих коэффициентов с термическим уравнением состояния.
Из математического анализа известно, что для любой неявно заданной функции трёх переменных
справедливо соотношение[33][34]
(Термическое уравнение состояния в дифференциальной форме) |
или[35]
то есть любой из трёх термических коэффициентов можно выразить через два других. Это соотношение иногда называют термическим уравнением состояния в дифференциальной форме[36][37][38].
На практике используют не сами частные производные, а образованные из них коэффициенты[39](также называемые термическими коэффициентами[40][41][34], либо же термодинамическими коэффициентами[42][43]):
изобарный коэффициент термического расширения
(Изобарный коэффициент объёмного расширения; коэффициент термического расширения; температурный коэффициент всестороннего расширения; термический коэффициент всестороннего расширения) |
характеризующий скорость изменения объёма при изменении температуры в условиях постоянного давления (для идеального газа [44][37]);
термический коэффициент давления при постоянном объёме
(Изохорный коэффициент давления; температурный коэффициент давления; термический коэффициент давления; коэффициент термической упругости) |
характеризующий скорость изменения давления при изменении температуры в условиях постоянного объёма (для идеального газа [44][37]);
изотермический коэффициент всестороннего сжатия
(Изотермический коэффициент всестороннего сжатия; коэффициент изотермического сжатия; коэффициент объёмного сжатия; коэффициент сжимаемости; коэффициент объёмной упругости; коэффициент объёмного упругого расширения) |
характеризующий скорость изменения объёма при изменении давления в условиях постоянной температуры (для идеального газа [45][46]). Знак минус указывает на уменьшение объёма с повышением давления и нужен для того, чтобы избежать отрицательных значений коэффициента сжимаемости[47][48].
Из термического уравнения состояния в дифференциальной форме вытекает уравнение связи между коэффициентами объёмного расширения, упругости и сжатия[33]:
(Уравнение связи между коэффициентами объёмного расширения, упругости и сжатия) |
Это соотношение позволяет, например, найти коэффициент для твёрдых и жидких тел (которые практически невозможно нагреть или охладить без изменения их объёма) по определяемым опытным путём коэффициентам и [49].
Термические коэффициенты являются функциями объёма, давления и температуры. Практическое значение коэффициентов объёмного расширения, упругости и сжатия состоит в том, что они используются для вычисления тех термодинамических величин, которые затруднительно или невозможно определить экспериментально.
Калорическое уравнение состояния
[править | править код]Если в термическое уравнение состояния в качестве обязательной переменной (зависимой или независимой) входит температура, то калорическое уравнение состояния (КУС) для простой закрытой системы отражает зависимость внутренней энергии от термодинамических параметров состояния (температуры и объёма, температуры и давления, объёма и давления)[50][51] (авторство термина КУС принадлежит Х. Камерлинг-Оннесу)[19]:
(Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными T и V) |
(Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными T и P) |
(Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными V и P) |
Калорические коэффициенты
[править | править код]Калорические коэффициенты вводят способом, аналогичным способу введения термических коэффициентов. Запишем калорическое уравнение состояния с независимыми переменными и в дифференциальной форме[40]:
(Дифференциальное КУС с независимыми переменными и ) |
и посредством входящих в это соотношение частных производных введём первую пару калорических коэффициентов — теплоёмкость при постоянном объёме[52][53]
(Теплоёмкость при постоянном объёме) |
и теплоту изотермического расширения[52][53]
(Теплота изотермического расширения) |
имеющую размерность давления. Применявшееся ранее для этого калорического коэффициента название скрытая теплота расширения как пережиток теории теплорода к использованию не рекомендуется[52].
Для идеального газа теплоёмкость при постоянном объёме равна[54]: для одноатомных, для двухатомных и для многоатомных газов. Здесь — масса газа, — молярная масса этого газа, — универсальная газовая постоянная. Теплота изотермического расширения идеального газа [55][56].
Частная производная
(Внутреннее давление) |
носит название внутреннего давления и к калорическим коэффициентам не относится, хотя и вводится одновременно с ними. Численное значение этой величины (отражающей на молекулярном уровне взаимное притяжение частиц), мало для реальных газов и очень велико (по сравнению с обычными значениями внешнего давления) для жидкостей и твёрдых тел[52]. Для идеального газа то есть внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма (закон Джоуля)[57][58].
Введём вторую пару калорических коэффициентов, связанных с калорическим уравнением состояния с независимыми переменными и — теплоёмкость при постоянном давлении[59]
(Теплоёмкость при постоянном давлении, выраженная через внутреннюю энергию) |
и теплоту изотермического возрастания давления[59]
(Теплота изотермического возрастания давления, выраженная через внутреннюю энергию) |
В литературе эти калорические коэффициенты чаще приводят в более компактном и удобном для расчётов виде, используя энтальпию или энтропию [60]:
(Теплоёмкость при постоянном давлении, выраженная через энтальпию) |
(Теплота изотермического возрастания давления; теплота изотермического сжатия) |
Для идеального газа и связаны формулой Майера. Коэффициент в подавляющем большинстве случаев есть величина отрицательная; для идеального газа [55][61]. Применявшееся ранее для этого калорического коэффициента название скрытая теплота изменения давления к использованию не рекомендуется.
Приведём определения для последней пары калорических коэффициентов, связанных с калорическим уравнением состояния с независимыми переменными и [36] — теплоты изохорного сжатия
(Теплота изохорного сжатия) |
и теплоты изобарного расширения
(Теплота изобарного расширения) |
Четыре из шести введённых калорических коэффициентов ( и ), имея самостоятельный физический смысл, являются полезными вспомогательными величинами при выводе термодинамических соотношений и в термодинамических расчётах, в частности, при вычислении внутренней энергии, энтальпии и энтропии. Коэффициенты и в настоящее время вышли из употребления[62].
Связь между термическими и калорическими коэффициентами
[править | править код]Полезные соотношения, связывающие термические и калорические коэффициенты[63][58][64]:
(Уравнение связи между термическим и калорическим уравнениями состояния) |
(Теорема Реша, 1854[65][66]) |
Для идеального газа
(Формула Майера) |
Каноническое уравнение состояния
[править | править код]Основная статья: Термодинамические потенциалы.
Каноническое уравнение представляет собой выражение для одного из термодинамических потенциалов (внутренней энергии, энтальпии, свободной энергии или потенциала Гиббса) через независимые переменные, относительно которых записывается его полный дифференциал.
- (для внутренней энергии),
- (для энтальпии),
- (для энергии Гельмгольца),
- (для потенциала Гиббса).
Каноническое уравнение, независимо от того, в каком из этих четырёх видов оно представлено, содержит полную информацию о термических и калорических свойствах термодинамической системы (предполагается, что известно и определение термодинамического потенциала, такое, как F = U − TS).
Уравнения состояния газов
[править | править код]К уравнениям состояния газов относятся:
- Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона)
- Уравнение Ван-дер-Ваальса (уравнение состояния реального газа)
- Уравнение Дитеричи
- Уравнение состояния Редлиха — Квонга
- Уравнение состояния Барнера — Адлера
- Уравнение состояния Суги — Лю
- Уравнение состояния Ли — Эрбара — Эдмистера
Уравнения состояния жидкостей
[править | править код]- Уравнение состояния Бенедикта — Вебба — Рубина
- Модели локального состава (Модель Вильсона, NRTL, UNIQUAC, UNIFAC, Уравнение Цубоки — Катаямы)
Уравнения состояния твёрдых тел
[править | править код]Состояние твёрдых тел можно описать с помощью уравнения Ми — Грюнайзена
См. также
[править | править код]- Термодинамическое равновесие
- Закон соответственных состояний
- Термодинамика, уравнение состояния, энтропия, потенциал взаимодействия (статьи, книги, лекции)
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Рудой Ю. Г., Уравнение состояния, 2017, с. 39—40 https://old.bigenc.ru/physics/text/4700430.
- ↑ 1 2 Сивухин Д. В., Общий курс физики, т. 2, 2005, с. 136—137.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 30.
- ↑ Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 24—25.
- ↑ Münster A., Classical Thermodynamics, 1970, p. 69.
- ↑ Мюнстер, 1971, с. 92.
- ↑ Запишем фундаментальное уравнение Гиббса в энергетическом выражении для однородной термодинамической системы:
(Фундаментальное уравнение Гиббса в энергетическом выражении) где — экстенсивные величины (термодинамические координаты состояния). Сопряжённые с ними интенсивные величины (термодинамические потенциалы взаимодействия) есть
(Термодинамический потенциал взаимодействия) Любое из соотношений
(Уравнение состояния) представляет собой уравнение состояния. Уравнения состояния не являются независимыми друг от друга, так как входящие в них интенсивные величины связаны соотношением, дифференциальная форма которого называется уравнением Гиббса — Дюгема:
(Уравнение Гиббса — Дюгема) Для однокомпонентной термодинамической фазы имеем ( — внутренняя энергия, — температура, — энтропия, — давление, — объём, — химический потенциал компонента, — масса компонента):
энергетическое выражение фундаментального уравнения Гиббса в интегральной форме- ;
энергетическое выражение фундаментального уравнения Гиббса в дифференциальной форме
- ;
уравнения состояния
- ;
- ;
- ;
уравнение Гиббса — Дюгема
- .
- ↑ Münster A., Classical Thermodynamics, 1970, p. 72.
- ↑ Мюнстер, 1971, с. 96.
- ↑ 1 2 Куранов, 1998, с. 39—40.
- ↑ 1 2 Маляренко В. А. и др., Техническая теплофизика, 2001, с. 12.
- ↑ 1 2 Белов Г. В., Термодинамика, ч. 1, 2017, с. 248.
- ↑ Александров А. А., Термодинамические основы циклов теплоэнергетических установок, 2016, с. 17.
- ↑ 1 2 Барилович, Смирнов, 2014, с. 12.
- ↑ 1 2 Гуйго, 1984, с. 111.
- ↑ Бурсиан В. Р., Соколов П. Т., Лекции по термодинамике, 1934, с. 176.
- ↑ Барилович, Смирнов, 2014, с. 13.
- ↑ Гуйго, 1984, с. 112.
- ↑ 1 2 Бурдаков В. П. и др., Термодинамика, ч. 1, 2009, с. 34.
- ↑ Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 158.
- ↑ 1 2 Белов Г. В., Термодинамика, ч. 1, 2017, с. 32.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 65.
- ↑ Василевский, 2006, с. 41.
- ↑ Гуггенгейм, Современная термодинамика, 1941, с. 166.
- ↑ Сычёв, 2009, с. 212.
- ↑ Зубарев Д. Н., Уравнение состояния, 1998, с. 236.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 308.
- ↑ Сычёв, 2009, с. 225.
- ↑ Состояние простой термодинамической системы (газы и изотропные жидкости в ситуации, когда поверхностными эффектами и наличием внешних силовых полей можно пренебречь) полностью задано её объёмом, давлением в системе и массами составляющих систему веществ.
- ↑ Мурзаков, 1973, с. 15–16, 86.
- ↑ 1 2 Мурзаков, 1973, с. 86–87.
- ↑ Бахшиева, 2008, с. 63.
- ↑ 1 2 Мурзаков, 1973, с. 88.
- ↑ 1 2 Глазов, 1981, с. 10.
- ↑ Сивухин Д. В., Общий курс физики, т. 2, 2005, с. 36.
- ↑ 1 2 Глазов, 1981, с. 40.
- ↑ 1 2 3 Бахшиева, 2008, с. 28.
- ↑ Коган В. Е. и др., Физическая химия, 2013, с. 24.
- ↑ Мурзаков, 1973, с. 87–88.
- ↑ 1 2 Герасимов Я. И. и др., Курс физической химии, т. 1, 1970, с. 38.
- ↑ Карапетьянц М. Х., Химическая термодинамика, 1975, с. 110.
- ↑ Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 108.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 33.
- ↑ 1 2 Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 109.
- ↑ Эпштейн П. С., Курс термодинамики, 1948, с. 18.
- ↑ Сивухин Д. В., Общий курс физики, т. 2, 2005, с. 295.
- ↑ Щелкачев В. Н., Лапук Б. Б., Подземная гидравлика, 1949, с. 44.
- ↑ Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г., Подземная гидравлика, 1973, с. 47.
- ↑ Коновалов, 2005, с. 31.
- ↑ Мурзаков, 1973, с. 18.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 30.
- ↑ 1 2 3 4 Герасимов Я. И. и др., Курс физической химии, т. 1, 1970, с. 39.
- ↑ 1 2 Глазов, 1981, с. 38.
- ↑ Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 25.
- ↑ 1 2 Глазов, 1981, с. 41.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 42.
- ↑ Глазов, 1981, с. 146.
- ↑ 1 2 Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 65.
- ↑ 1 2 Колесников И. М., Термодинамика физико-химических процессов, 1994, с. 48.
- ↑ Полторак, 1991, с. 27, 58–60.
- ↑ Полторак, 1991, с. 60.
- ↑ Полторак, 1991, с. 27.
- ↑ Глазов, 1981, с. 40, 114, 146.
- ↑ Николаев Г. П., Лойко А. Э., Техническая термодинамика, 2013, с. 41.
- ↑ Партингтон Дж. Р., Раковский А. В., Курс химической термодинамики, 1932, с. 41.
- ↑ Толпыго К. Б., Термодинамика и статистическая физика, 1966, с. 83, 95.
Литература
[править | править код]- Münster A. Classical Thermodynamics. — London e. a.: Wiley-Interscience, 1970. — xiv + 387 p. — ISBN 0 471 62430 6.
- Александров А. А. Термодинамические основы циклов теплоэнергетических установок. — М.: Издательский дом МЭИ, 2016. — 159 с. — ISBN 978-5-383-00961-1.
- Базаров И. П. Заблуждения и ошибки в термодинамике. — 2-е изд., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 120 с. — ISBN 5-354-00391-1.
- Базаров И. П. Термодинамика (недоступная ссылка). — М.: Высшая школа, 1991. — 376 с.
- Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
- Барилович B. A., Смирнов Ю. А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена. — М.: ИНФРА-М, 2014. — 432 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — ISBN 978-5-16-005771-2.
- Бахшиева Л. Т. и др. Техническая термодинамика и теплотехника / Под ред. проф А. А. Захаровой. — 2-е изд., испр. — М.: Академия, 2008. — 272 с. — (Высшее профессиональное образование). — ISBN 978-5-7695-4999-1.
- Белов Г. В. Термодинамика. Часть 1. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Юрайт, 2017. — 265 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-02731-0.
- Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 112 с.
- Бурдаков В. П., Дзюбенко Б. В., Меснянкин С. Ю., Михайлова Т. В. Термодинамика. Часть 1. Основной курс. — М.: Дрофа, 2009. — 480 с. — (Высшее образование. Современный учебник). — ISBN 978-5-358-06031-9.
- Бурдаков В. П., Дзюбенко Б. В., Меснянкин С. Ю., Михайлова Т. В. Термодинамика. Часть 2. Специальный курс. — М.: Дрофа, 2009. — 362 с. — (Высшее образование. Современный учебник). — ISBN 978-5-358-06140-8.
- Бурсиан В. Р., Соколов П. Т. Лекции по термодинамике. — Л.: Кубуч, 1934. — 352 с.
- Василевский А. С. Термодинамика и статистическая физика. — 2-е изд., перераб.. — М.: Дрофа, 2006. — 240 с. — ISBN 5-7107-9408-2.
- Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
- Глазов В. М. Основы физической химии. — М.: Высшая школа, 1981. — 456 с.
- Гуйго Э. И., Данилова Г. Н., Филаткин В. Н. и др. Техническая термодинамика / Под общ. ред. проф. Э. И. Гуйго. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. — 296 с.
- Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л.—М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
- Зубарев Д. Н. Уравнение состояния // Физическая энциклопедия. — Большая Российская энциклопедия, 1998. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 236.
- Карапетьянц М. Х. Химическая термодинамика. — М.: Химия, 1975. — 584 с.
- Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1: Теория равновесных систем: Термодинамика. — 2-е изд., сущ. перераб. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 240 с. — ISBN 5-354-00077-7.
- Коган В. Е., Литвинова Т. Е., Чиркст Д. Э., Шахпаронова Т. С. Физическая химия / Науч. ред. проф. Д. Э. Чиркст. — СПб.: Национальный минерально-сырьевой ун-т «Горный», 2013. — 450 с.
- Колесников И. М. Термодинамика физико-химических процессов. — М.: Гос. акад. нефти и газа им. И. М. Губкина, 1994. — 288 с.
- Колесников И. М. Термодинамика физико-химических процессов. — М.: Нефть и Газ, 2005. — 480 с. — ISBN 5-7246-0351-9.
- Коновалов В. И. Техническая термодинамика. — Иваново: Иван. гос. энерг. ун-т, 2005. — 620 с. — ISBN 5-89482-360-9.
- Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
- Кудрявцева И. В., Рыков А. В., Рыков В. А.[1]Непараметрическое уравнение состояния скейлингового вида и метод псевдокритических точек. — СПб. — Научный журнал НИУ ИТМО.- Статья. — УДК 536.71
- Куранов Г. Л. Уравнения состояния // Химическая энциклопедия. — Большая Российская энциклопедия, 1998. — Т. 5: Триптофан — Ятрохимия. — С. 39—40.
- Маляренко В. А., Редько А. Ф., Чайка Ю. И., Поволочко В. Б. Техническая теплофизика ограждающих конструкций зданий и сооружений. — Харьков: Рубикон, 2001. — 280 с. — ISBN 966-7152-47-2.
- Мурзаков В. В. Основы технической термодинамики. — М.: Энергия, 1973. — 304 с.
- Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
- Николаев Г. П., Лойко А. Э. Техническая термодинамика. — Екатеринбург: УрФУ, 2013. — 227 с.
- Партингтон Дж. Р., Раковский А. В. [libgen.io/book/index.php?md5=7e1f282c5a99198778a5d15a18a6018b Курс химической термодинамики] / Пер. с англ. Я. В. Герасимова, проработка и дополнения проф. А. В. Раковского. — 2-е изд., стереотипное. — М.—Л.: Госхимтехиздат, 1932. — 383 с.
- Полторак О. М. Термодинамика в физической химии. — М.: Высшая школа, 1991. — 320 с. — ISBN 5-06-002041-X.
- Путилов К. А. Термодинамика / Отв. ред. М. Х. Карапетьянц. — М.: Наука, 1971. — 376 с.
- Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. — М.: Недра, 1973. — 360 с.
- Рыков С. В., Кудрявцева И. В., Рыков А. В., Курова Л. В. Метод построения фундаментального уравнения состояния, учитывающего особенности критической области. — СПб. — Научный журнал НИУ ИТМО.- Статья. — УДК 536.71
- Рудой Ю. Г. Уравнение состояния // Большая российская энциклопедия. — Большая Российская энциклопедия (издательство), 2017. — Т. 33. — С. 65.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 5-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 544 с. — ISBN 5-9221-0601-5.
- Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
- Толпыго К. Б. [www.libgen.io/book/index.php?md5=9D8053F983EF1E982792F381F436A461 Термодинамика и статистическая физика]. — Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1966. — 364 с. (недоступная ссылка)
- Щелкачев В. Н., Лапук Б. Б. Подземная гидравлика / Под общ. ред. акад. Л. С. Лейбензона. — М. — Л: Гостоптехиздат, 1949. — 524 с.
- Эпштейн П.С. Курс термодинамики / Пер.с англ. Н. М.Лозинской, Н. А.Толстого.. — ОГИЗ. — М., 1948. — 420 с.
Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист |