Начала Евклида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ватиканский манускрипт, т.2, 207v - 208r. Euclid XI prop. 31, 32 и 33.

Начала (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, посвященный аксиоматическому построению геометрии. Начала - вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития. Написана книга ок. 300 до н. э.

Следует подчеркнуть, что до настоящего момента не дошли более ранние произведения, в которых давались бы не рецепты вычислений и построений, но что-либо доказывалось бы; поздние античные произведения (напр., Введение в арифметику Никомаха) существенно уступают Евклиду. Хотя Прокл сообщает, что подобные сочинения были и до Евклида: менее совершенные Начала были написаны Гиппократом Хиосским, а также двумя платониками.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Древнейший из их, написанный Проклом^[1], является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В частности, Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т.н. Эвдемов обзор), обсуждает весьма непростую взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль созерцания в доказательствах (фрагмент из Порфирия). Из древних комментаторов следует упомянуть еще Паппа, из новых Пьера Рамуса^[2],Федериго Коммандино^[3], Христофа Шлюсселя (Клавия)^[4] и Савелиуса.

Этот труд оказывал огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Начала переведены почти на все языки мира. Напр., на китайском языке первые 6 книг Начал издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). По количеству переизданий Начала не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением» ^[5].

Содержание

1 Краткий обзор содержания
2 Манускрипты и издания Начал
- 2.1 Греческий текст Начал
- 2.2 Латинский текст Начал
3 Литература
4 Ссылки
5 См. также

[править] Краткий обзор содержания

В Началах излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу, решение квадратных уравнений. Отсутствуют конические сечения, сферическая геометрия и тригонометрия, теория приближённых вычислений. Изложение ведется строго дедуктивно. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13-ти книг, к которым традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Каждая книга начинается с определений (лат. definitio), затем следуют предложения-теоремы (лат. propositio). После каждого предложения следует изложение (лат. enunciatio) и доказательство; почти каждое предложение снабжено одним рисунком. В некоторых книгах между определениями и предложениями вставлены аксиомы (лат. axiom) и постулаты (лат. postulate). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, напр., I def. 2 — второе определение первой книги.

Первая книга начинается определениями, из которых первое гласит:

I def. 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Комментаторы эпохи возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, и Гильберт начинает «Основания геометрии»^[6] так:

Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем $A, B, C \dots$

За определениями Евклид приводит постулаты:

I post. 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
I post. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
I post. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
I post. 4 . Все прямые углы равны между собой.
I post. 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

За ними следуют аксиомы, которые носят по преимуществу логико-арифметический характер: «если к равным прибавить равное, то результаты будут равны», и т. п. Четвёртая аксиома описывает изометричность движения: «совмещающиеся равны». I post. 4 и 5 в ряде списков выступают как I ax. 10 и 11 соответственно.

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение. Смысл их понять трудно. Так I prop. 2 предлагает «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует I post. 3 в неожиданно узком смысле.

Все последующие предложения являются теоремами в собственном смысле этого слова. При их доказательстве, начиная с I prop. 4, выражающего признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трем сторонам (I prop. 8) аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, постулат I post. 4 теперь принято доказывать, впервые это сделал Хр. Вольф, у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности (теорема 21).

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый Пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он демонстративно чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста. Не исключено, что это сделано намеренно. Несомненно, эллины знали и другие, эквивалентные приведенной, но более очевидные, формулировки. Можно предположить, что неуклюжей формулировкой Евклид неявно призывает читателей доказать то, что ему самому не удалось. Следует отметить, что первые 28 из теорем 1 книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

II книга содержит разнообразные геометрические построения, в том числе построение корней квадратных уравнений.

III книга посвящены окружностям.

IV книга — теоремы о многоугольниках.

В V и VI книгах излагаются общая теория отношений Евдокса — античный аналог поля вещественных чисел — а также учение о подобии.

VII, VIII и IX книги рассматривают арифметические вопросы: свойства чисел, теория делимости, решение уравнений и т. д. Помимо прочего, здесь доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя.

X книга содержит теорию несоизмеримых величин (однородных величин, отношение которых иррационально).

Последние три книги Начал посвящены стереометрии и затрагивают в основном многогранники. Некоторые теоремы относятся к сферам. Завершается изложение доказательством того, что существуют пять и только пять правильных многогранников.

Ван дер Варден полагает ^[7], что прототипом для труда Евклида послужили более ранние и менее совершенные сочинения античных математиков:

Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
Книги V—VI и XII — Евдокс Книдский.
Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев.
Книги X и XIII — Теэтет Афинский.

[править] Манускрипты и издания Начал

[править] Греческий текст Начал

Папирус из Oxyrhynchus

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты Начал Евклида. Самый известный был найден на развалинах древнего города Oxyrhynchus, вблизи современной деревни Behnesa (примерно в 110 милях вверх по Нилу от Каира и в 10 милях к западу от него) в 1896-1897 и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.^[8]

Греческий текст Начал Евклида известен по византийским манускриптам, из них самые известные:

MS D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford
MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканский манускрипт)

На их основе текст Начал был реконструирован Гейбергом (J.L. Heiberg) в конце 19 века, его методы подробно описаны Хизом (T. L. Heath).^[9]

Гейберг использовал в своей реконструкции 8 манускриптов, датируемых сейчас 9-11 веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку “из издания Теона” или “из лекций Теона” и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта не много (наиболее существенный концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают Начала в контекст греческой культуры, напр., сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принес в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу еще в 16 веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии 16 века. Лишь в 1808 Пейрар (F. Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.

[править] Латинский текст Начал

Манускрипт из Люнебурга, ок. 1200 года, передающий геометрию Боэция.

В Европе Начала Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты Начал Евклида, каталогизированы Фолкертсом (Dr. Menso Folkerts)^[10]. В этом каталоге манускрипты разделены на след. группы:

Геометрия Боэция. Трактаты этой группы начинаются словами “Incipit Geometriae Boetii”, имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, напр., линия – объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т.д. Язык не засорен арабскими терминами, поэтому считается, что геометрия Боэция - прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга
Геометрия Аделарда (Adelard) составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как Adelard II, содержит все 15 книг Начал Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорит об этом нужно с осторожностью. Характерная черта – наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII-IX и XI-XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего 12 века шла работа по улучшению доказательств.
Геометрия Кампано (Campanus) – комплекс рукописей 13-15 вв. В этой версии Начала весьма схожи с византискими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, засоренный арабскими терминами (напр., параллелепипед назван belmaui). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор Начал, и ученик Сократа философ Евклид Мегарский, упомянутый Диогеном Лаэртским, ныне считающиеся разными историческими персонажами.

Печатные издания Начал Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом^[11]. Первое печатное издание Начал^[12] было осуществлено Эрхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) в Венеции в 1482 и оно воспроизводило Начала в обработке Кампано. Следующее издание, которое не копируют первое, было осуществлено Бартоломео Замберти 1505. Из предисловия известно, что Замберти переводил греческий манускрипт, передающий Начала в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В 16 веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания Начал без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Замберти^[13]. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале 16 века была издана геометрия Боэция^[14], которая тоже являлась переводом Начал Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Отмечалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.