Конечное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(перенаправлено с «Поле Галуа»)

Перейти к: навигация, поиск

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается $\mathbb{F}_q$ или $GF(q)$ , где $q$ — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является $\mathbb{Z}_p$ — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
3 Построение
- 3.1 Пример построения поля GF(9)
  - 3.1.1 Таблица сложения в GF(9)
  - 3.1.2 Таблица умножения в GF(9)
4 Литература
5 См. также

[править] Свойства

Характеристика конечного поля является простым числом.
Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: $|\mathbb{F}_q|=q=p^n$ .
Для каждого простого числа $p$ и натурального $n$ существует конечное поле из $q = p n$ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена $x^q-x\in\mathbb{F}_p[x]$ .
Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка q − 1.
- В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент $α$ , порядок которого равен $q - 1$ , то есть $α q - 1 = 1$ и $\alpha^i \neq 1$ для $0 < i < q - 1$ .
- Любой ненулевой элемент $β$ является некоторой степенью примитивного элемента:
  
  $\beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}$ .
Поле $\mathbb{F}_{p^n}$ содержит в себе в качестве подполя $\mathbb{F}_{p^k}$ тогда и только тогда, когда $k$ является делителем $n$ .

[править] Примеры

$\mathbb{Z}_p$ , где $p$ — простое: $\mathbb{Z}_2,\;\mathbb{Z}_3,\;\mathbb{Z}_5,\;\mathbb{Z}_7$ и так далее.
$\mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ , где $\langle f(x)\rangle$ — главный идеал кольца $\mathbb{Z}_p[x]$ , порожденный неприводимым многочленом $f(x)\in\mathbb{Z}_p[x]$ степени $n$ .

[править] Построение

Построение поля $G F (p n)$ , где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя $G F (p)$ (которое совпадает со всем полем при n=1).

Простое поле $G F (p)$ строится как кольцо $\mathbb{Z}_p$ вычетов по модулю $p$ , которое в виду простоты $p$ не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы $\mathbb{Z}_p$ — числа $0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1$ . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю

p

.

Поле $G F (p n)$ при n>1 строится как факторкольцо $\mathbb{K}=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ , где $f (x)$ — неприводимый многочлен степени n над полем $\mathbb{Z}_p$ . Таким образом, для построения поля из $p n$ элементов достаточно отыскать многочлен степени $n$ , неприводимый над полем $\mathbb{Z}_p$ .

Элементами поля $\mathbb{K}$ являются все многочлены степени меньшей

n

с коэффициентами из $\mathbb{Z}_p$ . Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена

f (x)

, то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на

f (x)

с приведением коэффициентов по модулю

p

.

[править] Пример построения поля GF(9)

Для построения поля $GF(9) = GF(3 2)$ необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над $\mathbb{Z}_3$ . Такими многочленами являются:

x 2 + 1

x 2 + x + 2

x 2 + 2 x + 2

2 x 2 + 2

2 x 2 + x + 1

2 x 2 + 2 x + 1

Возьмём, например, $x 2 + 1$ , тогда искомое поле есть $\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$ . Если вместо $x 2 + 1$ взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

[править] Таблица сложения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

+	0	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
0	0	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
1	1	2	0	$x + 1$	$x + 2$	$x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$
2	2	0	1	$x + 2$	$x$	$x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$
$x$	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	0	1	2
$x + 1$	$x + 1$	$x + 2$	$x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	1	2	0
$x + 2$	$x + 2$	$x$	$x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	2	0	1
$2 x$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	0	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$
$2 x + 1$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	1	2	0	$x + 1$	$x + 2$	$x$
$2 x + 2$	$2 x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	2	0	1	$x + 2$	$x$	$x + 1$

[править] Таблица умножения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

×	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
2	2	1	$2 x$	$2 x + 2$	$2 x + 1$	$x$	$x + 2$	$x + 1$
$x$	$x$	$2 x$	2	$x + 2$	$2 x + 2$	1	$x + 1$	$2 x + 1$
$x + 1$	$x + 1$	$2 x + 2$	$x + 2$	$2 x$	1	$2 x + 1$	2	$x$
$x + 2$	$x + 2$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	1	$x$	$x + 1$	$2 x$	2
$2 x$	$2 x$	$x$	1	$2 x + 1$	$x + 1$	2	$2 x + 2$	$x + 2$
$2 x + 1$	$2 x + 1$	$x + 2$	$x + 1$	2	$2 x$	$2 x + 2$	$x$	1
$2 x + 2$	$2 x + 2$	$x + 1$	$2 x + 1$	$x$	2	$x + 2$	1	$2 x$

[править] Литература

Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт.. — М.: Мир, 1998.

[править] См. также

Конечное поле

Содержание

[править] Свойства

[править] Примеры

[править] Построение

[править] Пример построения поля GF(9)

[править] Таблица сложения в GF(9)

[править] Таблица умножения в GF(9)

[править] Литература

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках