Правило Борна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика
Не путать с правилом Коши-Борна (англ.)русск. в физике кристаллов.

Правило Борна (также закон Борна) — закон квантовой механики, который рассчитывает вероятность того, что измерение квантовой системы позволит получить какой-либо результат. Назван в честь первооткрывателя, физика Макса Борна.

Правило Борна — один из ключевых принципов квантовой механики. Было много попыток вывести это правило из ее различных интерпретаций, с неубедительным результатом. Так, из многомировой интерпретации правило Борна получить невозможно[1]. Однако, в рамках байесианской (англ.)русск. интерпретации квантовой физики это было сделано расширением стандартной формулы полной вероятности, принимающей во внимание размерность гильбертова пространства включенных физических систем.[2]

Правило[править | править вики-текст]

Правило Борна гласит, что, если наблюдаемая с дискретным спектром, соответствующая эрмитову оператору, измеряется в системе с нормированной волновой функцией \scriptstyle|\psi\rang (см. Бра и кет), то:

  • результат измерения будет одним из собственных векторов \lambda матрицы A, и, далее
  • вероятность измерения заданного собственного значения \lambda_i будет равна \scriptstyle\lang\psi|P_i|\psi\rang , где P_i — проекция на собственное подпространство A, соответствующее \lambda_i.

(В случае, когда собственное пространство A, соответствующее \lambda_i, одномерно и натянуто на нормированный собственный вектор \scriptstyle|\lambda_i\rang, P_i равно \scriptstyle|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|, так что вероятность \scriptstyle\lang\psi|P_i|\psi\rang равна \scriptstyle\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rang. Поскольку комплексное число \scriptstyle\lang\lambda_i|\psi\rang известно как вероятностная амплитуда того, что вектору состояния \scriptstyle|\psi\rang присваивается собственный вектор \scriptstyle|\lambda_i\rang, оно является общим для описания правила Борна, гласящего, что вероятность равна квадрату амплитуды (в действительности, степень амплитуды — комплексно сопряженное число). Также вероятность можно записать в виде \scriptstyle|\lang\lambda_i|\psi\rang|^2).

В случае, когда спектр A не полностью дискретен, спектральная теорема доказывает существование определенного прогнозируемого значения измерения (англ.)русск. Q, спектральной меры A. В этом случае,

  • вероятность того, что результат измерения лежит в измеримом множестве M, будет определяться \scriptstyle\lang\psi|Q(M)|\psi\rang.

Если мы получим волновую функцию \scriptstyle\psi для одиночной бесструктурной частицы в позиционном пространстве, это сведется к утверждению, что функция плотности вероятности p(x,y,z) для измерения положения в момент времени t_0 будет определяться так: p(x,y,z)= \scriptstyle|\psi(x,y,z,t_0)|^2.

История[править | править вики-текст]

Правило было сформулировано Максом Борном в статье в 1926 году[3]. В данной работе Борн решал уравнение Шрёдингера для задачи рассеяния и, вдохновленный работами Эйнштейна в области фотоэффекта[4], пришел к выводу (в примечании), что его правило дает единственно возможную интерпретацию решения. В 1954 году за эту и другие работы Борн совместно с Вальтером Боте был удостоен Нобелевской премии по физике[5]. Джон фон Нейман обсудил применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге, изданной в 1932[6].

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. N.P. Landsman, «The conclusion seems to be that no generally accepted derivation of the Born rule has been given to date, but this does not imply that such a derivation is impossible in principle.», in Compendium of Quantum Physics (eds.) F.Weinert, K. Hentschel, D.Greenberger and B. Falkenburg (Springer, 2008), ISBN 3-540-70622-4
  2. Fuchs, C. A. QBism: the Perimeter of Quantum Bayesianism 2010
  3. Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Max Born, Zeitschrift für Physik, 37, #12 (Dec. 1926), pp. 863—867 (German); English translation, On the quantum mechanics of collisions, in Quantum theory and measurement, section I.2, J. A. Wheeler and W. H. Zurek, eds., Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1983, ISBN 0-691-08316-9.
  4. «Again an idea of Einstein’s gave me the lead. He had tried to make the duality of particles — light quanta or photons — and waves comprehensible by interpreting the square of the optical wave amplitudes as probability density for the occurrence of photons. This concept could at once be carried over to the psi-function: |psi|2 ought to represent the probability density for electrons (or other particles).» from Born’s Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics
  5. Born’s Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics
  6. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, John von Neumann, Berlin: Springer, 1932 (German); English translation Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, transl. Robert T. Beyer, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1955.