Гиперболические уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Уравнения второго порядка[править | править вики-текст]

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

,

где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна , то есть матрица имеет положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1].

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

,

где:  — положительно определённый эллиптический оператор, .

Уравнения первого порядка на плоскости[править | править вики-текст]

Уравнение типа

где , , — квадратные матрицы и — неизвестные. Являются гиперболическими если матрица имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров. [2]

Решение гиперболических уравнений[править | править вики-текст]

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

Примеры гиперболических уравнений[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
  2. Bressan, A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws. — Oxford university press. — ISBN 0-19-850700-3.
  3. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.