Ромбическая мозаика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ромбическая мозаика
1-uniform 7 dual.svg
Тип мозаика Лавеса[en]
Диаграмма Коксетера CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.png
Грани ромбы 60°–120°
Конфигурация граней V3.6.3.6
Tiling face 3-6-3-6.svg
Группа симметрии p6m, [6,3], *632
p3m1, [3[3]], *333
Группа вращения p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Двойственная Тригексагональная мозаика[en]
Свойства рёберно транзитивная
грань-транзитивная[en]

В геометрии ромбическая мозаика[1], кантующиеся блоки[2], обратимые кубы или кубическая решётка — это мозаика одинаковых ромбов с углом 60° на евклидовой плоскости. Каждый ромб имеет два угла 60° и два 120°. Такие ромбы иногда называют диамондами. Множества из трёх ромбов соприкасаются вершинами с углом 120°, а множества из шести — вершинами с углом 60°.

Свойства[править | править код]

Две шестиугольные мозаики с красными и синими рёбрами в ромбической мозаике
Четыре шестиугольные мозаики с красными, зелёными, синими и пурпурными рёбрами в ромбической мозаике[3]

Ромбическую мозаику можно рассматривать как разделённую шестиугольную мозаику, в которой каждый шестиугольник разделён на три ромба, имеющих общую вершину в центре шестиугольника. Такое деление представляет правильную соединённую мозаику. Её можно рассматривать также как разделение четырёх шестиугольных мозаик, в которых шестиугольники разделены на 12 ромбов.

Диагонали ромба относятся как 1:√3. Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике[en] или решётке кагоме. Как двойственная мозаика однородной мозаики она является одной из одиннадцати возможных мозаик Лавеса[en], и её вершинная конфигурация[en] обозначается как [3.6.3.6][4].

Мозаика является также одним из 56 возможных изоэдральных замощений[en] четырёхугольниками[5] и одной из восьми замощений плоскости, в которой любое ребро лежит на оси симметрии мозаики[6].

Ромбическая мозаика поверх двойственной ей тригексагональной мозаики[en]

Можно вложить ромбическую мозаику в подмножество трёхмерной целочисленной решётки таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решётки находятся на единичном расстоянии друг от друга. Более строго, когда число рёбер в кратчайшем пути между двумя вершинами мозаики равно расстоянию городских кварталов между соответствующих точек решётки. Таким образом, ромбическую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба[7].

Применение в искусстве[править | править код]

Ромбическую мозаику можно интерпретировать как изометрическую проекцию множества кубов двумя различными путями, которые представляют обратимые фигуры[en], связанные с кубом Некера[en]. Это явление известно как иллюзия «обратимых кубов»[8].

В ксилографиях Метаморфозы I[en], Метаморфозы II[en] и Метаморфозы III[en] Эшер использует эту интерпретацию мозаики как путь преобразования из двумерных в трёхмерные формы[9]. В другой его работе, Цикл (1938) , Эшер играет со внутренним противоречием между двумерностью и трёхмерностью этой мозаики — на рисунке нарисованы здания, которые имеют большие кубические блоки в качестве архитектурных элементов и внутренний дворик наверху, замощённый ромбической мозаикой. Человеческие фигурки, спускающиеся из дворика вниз по кубам, становятся стилизованными и плоскими[10]. Эти работы используют только одну трёхмерную интерпретацию мозаики, но в картине Выпуклый и вогнутый[en] Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами и включает изображение обратимых кубов на флаге[11].

Ромбическая мозаика пола на острове Дилос
Ромбическая мозаика на полу Сиенского собора
Не выраженная явно ромбическая мозаика в английской геральдике[en] — с герба Geal/e

Ромбическая мозаика используется также для паркета[12] и как плитка для пола или стен, иногда с изменением формы ромбов[13] Ромбический рисунок обнаруживается на древнем мозаичном полу в греческом Дилосе[14] и на итальянском полу 11-го столетия[15], хотя плитка в мозаике Сиенского собора более позднего производства[16]. Стёганый материал[en], известен с 1850-х годов как узор "кувыркающихся блоков ", что выражает визуальный диссонанс, вызванный двоякой трёхмерной интерпретацией[2][15][17]. Этот узор имеет много других названий, например, небесная лестница и ящик Пандоры[17]. Считается, что этот узор использовался в качестве сигнала на подпольной железной дороге — когда рабы видели его повешенным на ограде, они собирали свои пожитки и скрывались[18]. В этих декоративных узорах могут использоваться ромбы различных цветов, но обычно используются три оттенка, более светлые ромбы с горизонтальными длинными диагоналями и более тёмные в других двух направлениях, что усиливает их эффект трёхмерности. Существует одно известное присутствие ромбической и тригексагональной мозаик[en] в английской геральдике[en] — на гербе армии Geal/e[19].

Топологически эквивалентные мозаики[править | править код]

Ромбическая мозаика иногда осуществляется с меньшей степенью симметрии. Например, следующие два варианта. Иногда эти варианты называются кубической мозаикой за иллюзию трёхмерных сложенных кубиков, видимых под углом.

Rhombic tiling tilted.png Rhombic tiling tilted2.png

Другие приложения[править | править код]

Ромбическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух различных шестиугольных мозаик, сдвинутых так, что вершины одной мозаики оказываются в центре шестиугольников другой мозаики. В таком виде ромбическая мозаика может быть использована для создания блочного клеточного автомата, в котором ячейками автомата являются ромбы мозаики, а блоками в чередующихся шагах автомата служат шестиугольники двух мозаик. В этом контексте автомат называется «полем Q*bert», по названию видеоигры Q*bert, в которой игровое поле выглядит как пирамида из кубов. Поле Q*bert можно использовать для поддержки универсальной системы путём имитации бильярдного компьютера[20].

В физике конденсированного состояния ромбическая мозаика известна как кубическая решётка или двойственная решётка кагоме. Она является одной из нескольких повторяющихся структур, использовавшихся для изучения модели Изинга и связанных систем взаимодействия спинов в двухатомных кристаллах[21], а также изучалась в теории перколяции[22].

Симметрия[править | править код]

Ромбическая мозаика имеет *632 симметрий, но вершины можно выкрасить в чередующиеся цвета, что приводит к *333 симметриям.

Рисунок Rhombic star tiling 2 vertices.png
(2 colors)
Rhombic star tiling 3 vertices.png
(3 colors)
Симметрия p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333)
Коксетер CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel 3.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel 3.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png

Связанные многогранники и мозаики[править | править код]

Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике[en], а потому принадлежит множеству мозаик, однородных двойственным. Она является также частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с группой симметрий Коксетера [n,3], которая начинается с куба, который можно рассматривать как ромбический шестигранник, а ромбами в нём служат квадраты. n-ый элемент этой последовательности имеет конфигурацию граней[en] V3.n.3.n.

Симметрии двойственных двойственных квазиправильных мозаик: V(3.n)2
Сферические Евклидовы Гиперболические
*n32 *332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Мозаика Uniform tiling 432-t0.png Spherical rhombic dodecahedron.png Spherical rhombic triacontahedron.png Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png Ord3infin qreg rhombic til.png
Конф. V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2 V(3.8)2 V(3.∞)2

Ромбическая мозаика является одним из многих способов замощения плоскости ромбами. Другие включают

плоскую версию квадратного паркета (с параллельным переносом)
мозаику, использованную в схеме жёсткого складывания Миура-ори (чередующиеся параллельные переносы и отражения)
мозаику Пенроуза, которая использует два вида ромбов с острыми углами 36° и 72° апериодично, а также другие апериодичные мозаики

К ним примыкает и мозаика «Сфинкс», которая подобно ромбической мозаике базируется на шестиугольной мозаике.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008, с. 288.
  2. 1 2 Smith, 2002.
  3. Guy, Woodrow, 1996, с. 79.
  4. Grünbaum, Shephard, 1987.
  5. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 477, Рис. 9.1.2, Мозаика P4-42.
  6. Kirby, Umble, 2011, с. 283–289.
  7. Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004, с. 150.
  8. Warren, 1919, с. 262.
  9. Kaplan, 2008, с. 39–46.
  10. Escher, 2001, с. 29–30.
  11. De May, 2003, с. 130–141.
  12. Schleining, O'Rourke, 2003, с. 58.
  13. Tessellation Tango, The Mathematical Tourist, Drexel University, retrieved 2012-05-23.
  14. Dunbabin, 1999, с. 32.
  15. 1 2 Tatem, 2010, с. 115.
  16. Wallis, 1902, с. xxv.
  17. 1 2 Fowler, 2008.
  18. Tobin, Dobard, 2000, с. 81.
  19. Aux armes: symbolism, Symbolism in arms, Pleiade, retrieved 2013-04-17.
  20. The Q*Bert neighbourhood, Tim Tyler.
  21. Fisher, 1959, с. 969–981.
  22. Yonezawa, Sakamoto, Hori, 1989, с. 636–649.

Литература[править | править код]

  • , сс. 29–30, ISBN 9783822858646, <https://books.google.com/books?id=lq-EZiRdPswC&pg=PR1> 
  • Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. The Lighter Side of Mathematics. — The Mathematical Association of America, 1996. — С. 79, Figure 10. — (Spectrum). — ISBN 13: 978-0883855164, 10: 088385516X.
  • Howard Crosby Warren. Human psychology. — Houghton Mifflin, 1919. — С. 262.
  • John Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — AK Peters, 2008. — С. 288. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.. Section 2.7, Tilings with regular vertices, pp. 95-98.
  • Matthew Kirby, Ronald Umble. Edge tessellations and stamp folding puzzles // Mathematics Magazine. — 2011. — Т. 84, вып. 4. — С. 283–289. — DOI:10.4169/math.mag.84.4.283. — arXiv:0908.3257.
  • Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Mikhail Shtogrin. Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and Zn. — London: Imperial College Press, 2004. — С. 150. — ISBN 1-86094-421-3. — DOI:10.1142/9781860945489.
  • Craig S. Kaplan. Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science. — 2008. — С. 39–46.
  • Jos De May. M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration / D. Schattschneider, M. Emmer. — Springer, 2003. — С. 130–141.
  • Michael E. Fisher. Transformations of Ising models // Physical Review. — 1959. — Т. 113, вып. 4. — С. 969–981. — DOI:10.1103/PhysRev.113.969.
  • Fumiko Yonezawa, Shoichi Sakamoto, Motoo Hori. Percolation in two-dimensional lattices. I. A technique for the estimation of thresholds // Phys. Rev. B. — 1989. — Т. 40, вып. 1. — С. 636–649. — DOI:10.1103/PhysRevB.40.636.
  • Lon Schleining, Randy 'Rourke. Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes. — Taunton Press, 2003. — С. 58. — ISBN 9781561586516.
  • Katherine M. D. Dunbabin. Mosaics of the Greek and Roman World. — Cambridge University Press, 1999. — С. 32. — ISBN 9780521002301.
  • Mary Tatem. Quilt of Joy: Stories of Hope from the Patchwork Life. — Revell, 2010. — С. 115. — ISBN 9780800733643.
  • Henry Wallis. Italian ceramic art. — Bernard Quaritch, 1902. — С. xxv.
  • Barbara Smith. Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite. — Collector Books, 2002. — ISBN 9781574327892.
  • Earlene Fowler. Tumbling Blocks. — Penguin, 2008. — ISBN 9780425221235.. This is a mystery novel, but it also includes a brief description of the tumbling blocks quilt pattern in its front matter.
  • Jacqueline L. Tobin, Raymond G. Dobard. Hidden in Plain View: A Secret Story of Quilts and the Underground Railroad. — Random House Digital, Inc., 2000. — С. 81. — ISBN 9780385497671.
  • Maurits Cornelis Escher. M.C. Escher, the Graphic Work. — Taschen, 2001. — С. 29–30. — ISBN 9783822858646.

Литература для дополнительного чтения[править | править код]

  • Keith Critchlow, Order in Space: A design source book, 1970, p.77-76, pattern 1