Осоэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Множество правильных n-угольных осоэдров
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
Тип

Регулярный многогранник[en] или сферическая мозаика

Эйлерова характеристика

2

Грани

n двуугольников

Рёбра

n

Вершины

2

Конфигурация вершины

2n

Символ Шлефли

{2,n}

Символ Визоффа

n | 2 2

Диаграмма Коксетера — Дынкина

CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png

Вид симметрии

Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n

Двойственный многогранник

диэдр

Этот пляжный мяч[en] показывает осоэдр с шестью серповидными гранями, если удалить два белых круга на концах.

В геометрии n-угольный осоэдр — это такая мозаика из двуугольников на сферической поверхности, что каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.

Правильный n-угольный осоэдр имеет символ Шлефли {2, n}, а каждый двуугольник имеет внутренний угол 2π/n радиан (360/n градусов[1][2].

Осоэдры как правильные многогранники[править | править код]

Для правильных многогранников, символ Шлефли которых равен {mn}, число многоугольных граней можно найти по формуле:

Правильные многогранники, известные с античных времён, являются единственными многогранниками, дающими в результате деления целое число для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 приводит к тому, что многоугольные грани должны иметь по меньшей мере три стороны.

Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику, это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники можно рассматривать как сферические двуугольные фигуры, имеющие ненулевую площадь. Допущение m = 2 порождает новый бесконечный класс правильных многогранников, то есть осоэдров.

Trigonal hosohedron.png
Правильный треугольный осоэдр, {2,3}, представленный в виде мозаики из трёх двуугольников на сфере.
4hosohedron.svg
Правильный четырёхугольный осоэдр, представленный в виде мозаики из четырёх двуугольников на сфере.
Семейство правильных осоэдров
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Рисунок Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical heptagonal hosohedron.png Spherical octagonal hosohedron.png Spherical enneagonal hosohedron.png Spherical decagonal hosohedron.png Spherical hendecagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png
Шлефли {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12}
Коксетер CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 1x.pngCDel 0x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 1x.pngCDel 1x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 1x.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Граней и
рёбер
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Вершин 2

Калейдоскопическая симметрия[править | править код]

Двуугольные грани 2n-осоэдра , {2,2n}, представляют фундаментальные области диэдральной симметрии[en]: Cnv, [n], (*nn), порядок 2n. Области зеркального отражения можно показать, используя поочерёдную раскраску двуугольников. Рассечения двуугольников на два сферических треугольника создают бипирамиды и определяют диэдрическую симметрию Dnh, порядок 4n.

Симметрия C1v C2v C3v C4v C5v C6v
Осоэдр {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
Фундаментальные области Spherical digonal hosohedron2.png Spherical square hosohedron2.png Spherical hexagonal hosohedron2.png Spherical octagonal hosohedron2.png Spherical decagonal hosohedron2.png Spherical dodecagonal hosohedron2.png

Связь с телами Штейнмеца[править | править код]

Треугольный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндру[en], пересечению двух цилиндров под прямым углом[3].

Производные многогранники[править | править код]

Двойственным многогранником n-угольного осоэдра {2, n} является n-угольный диэдр, {n, 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является осоэдром и диэдром одновременно.

Осоэдр можно модифицировать тем же способом, что и другие многогранники, порождая усечённые[en] варианты. Усечённый n-угольный осоэдр — это n-угольная призма.

Бесконечноугольный осоэдр[править | править код]

В пределе осоэдр становится бесконечноугольным и представляет собой двумерное замощение:

Apeirogonal hosohedron.png

Осотопы[править | править код]

Многомерные аналоги, в общем случае, называются осотопами. Правильный осототоп с символом Шлефли {2,p,…,q} имеет две вершины и в обеих вершинах вершинной фигурой служит {p,…,q}.

Двумерный осотоп (многоугольник) {2} — это двуугольник.

Этимология[править | править код]

Термин «осоэдр» (hosohedron) предложен Г. С. М. Коксетером и, возможно, происходит от греческого ὅσος (осос) «сколь угодно», что указывает на возможность осоэдра иметь «сколь угодно много граней»[4].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Coxeter, 1973, p. 12.
  2. McMullen & Schulte, 2002, p. 161.
  3. Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Schwartzman, 1994, p. 108–109.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]