Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 27:
Строка 27:
* <math>2\gamma = \lim\limits_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\}</math>
* <math>2\gamma = \lim\limits_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\}</math>
* <math> \frac{\pi^2}{3\gamma^2} = \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\}.</math>
* <math> \frac{\pi^2}{3\gamma^2} = \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\}.</math>
* <math> \gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.</math>
* <math> \gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.</math>
* <math> \gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.</math>
* <math> e^{-\gamma} = \lim\limits_{x\to\infty}\ln x\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right).</math>
* <math> e^{-\gamma} = \lim\limits_{x\to\infty}\ln x\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right).</math>
Версия от 14:41, 16 января 2013
Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа , определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
n
)
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
2
+
1
3
+
…
+
1
n
−
ln
n
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)}
Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером , он же предложил для неё обозначение C , которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы и предложил современное обозначение
γ
{\displaystyle \gamma }
(греческая буква «гамма» ).
Значение константы:
γ
{\displaystyle \gamma }
≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…
В теории чисел нередко используется константа
e γ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343…
e
γ
=
(
2
1
)
1
/
2
(
2
2
1
⋅
3
)
1
/
3
(
2
3
⋅
4
1
⋅
3
3
)
1
/
4
(
2
4
⋅
4
4
1
⋅
3
6
⋅
5
)
1
/
5
⋯
{\displaystyle e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots }
Свойства
Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл :
γ
=
−
∫
0
∞
ln
x
e
x
d
x
{\displaystyle \gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx}
γ
=
1
−
∫
0
1
{
1
x
}
d
x
=
1
−
∫
1
∞
{
x
}
x
2
d
x
{\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{0}^{1}\left\{{\frac {1}{x}}\right\}dx=1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}\,dx}
, где
{
t
}
{\displaystyle \left\{t\right\}}
— дробная часть числа
t
{\displaystyle t}
.
γ
2
+
π
2
6
=
∫
0
∞
e
−
x
ln
2
x
d
x
.
{\displaystyle \gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx.}
−
1
4
(
γ
+
2
ln
2
)
π
=
∫
0
∞
e
−
x
2
ln
x
d
x
{\displaystyle -{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx}
Также она выражается через производную гамма-функции :
γ
=
−
Γ
′
(
1
)
=
−
Ψ
(
1
)
{\displaystyle \gamma =-\Gamma ^{'}(1)=-\Psi (1)}
.
До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным . Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — рациональная дробь, её знаменатель больше
10
242080
{\displaystyle 10^{242080}}
[источник не указан 4487 дней ]
γ
=
lim
m
→
∞
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
(
−
1
)
k
k
ln
(
k
!
)
{\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)}
.
γ
=
lim
n
→
∞
{
Γ
(
1
n
)
Γ
(
n
+
1
)
n
1
+
1
/
n
Γ
(
2
+
n
+
1
n
)
−
n
2
n
+
1
}
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}}
γ
+
ζ
(
2
)
=
∑
k
=
2
∞
(
1
⌊
k
⌋
2
−
1
k
)
=
∑
k
=
2
∞
k
−
⌊
k
⌋
2
k
⌊
k
⌋
2
=
1
2
+
2
3
+
1
2
2
∑
k
=
1
2
×
2
k
k
+
2
2
+
1
3
2
∑
k
=
1
3
×
2
k
k
+
3
2
+
…
.
{\displaystyle {\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots .}}
2
γ
=
lim
z
→
0
1
z
{
1
Γ
(
1
+
z
)
−
1
Γ
(
1
−
z
)
}
{\displaystyle 2\gamma =\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}}
π
2
3
γ
2
=
lim
z
→
0
1
z
{
1
Ψ
(
1
−
z
)
−
1
Ψ
(
1
+
z
)
}
.
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}.}
γ
=
ln
π
−
4
ln
Γ
(
3
4
)
+
4
π
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
ln
(
2
k
+
1
)
2
k
+
1
.
{\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.}
e
−
γ
=
lim
x
→
∞
ln
x
∏
p
⩽
x
(
1
−
1
p
)
.
{\displaystyle e^{-\gamma }=\lim \limits _{x\to \infty }\ln x\prod \limits _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}
∑
p
⩽
x
ln
p
p
−
1
=
ln
x
−
γ
+
o
(
1
)
.
{\displaystyle \sum \limits _{p\leqslant x}{\frac {\ln p}{p-1}}=\ln x-\gamma +o(1).}
См. также