Векторный анализ: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Спасено источников — 0, отмечено мёртвыми — 2. #IABot (v2.0beta) |
LGB (обсуждение | вклад) убрал мёртвые ссылки |
||
Строка 79: | Строка 79: | ||
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=26 |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=26 |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |
||
|место=М. |год=1982 |страницы=205-234 }} |
|место=М. |год=1982 |страницы=205-234 }} |
||
* ''Борисенко А. И., Тарапов И. Е.'' |
* ''Борисенко А. И., Тарапов И. Е.'' Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с. |
||
* ''Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И.'' Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002) |
* ''Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И.'' Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002) |
||
* ''Кумпяк Д. Е.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kumpyak2007ru.djvu Векторный и тензорный анализ.] Учебное пособие. Тверь: [[Тверской государственный университет|Тверской гос. университет]], 2007, 158 с. |
* ''Кумпяк Д. Е.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kumpyak2007ru.djvu Векторный и тензорный анализ.] Учебное пособие. Тверь: [[Тверской государственный университет|Тверской гос. университет]], 2007, 158 с. |
||
* ''Мак-Коннел А. Дж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.] М.: Физматлит, 1963, 411 с. |
* ''Мак-Коннел А. Дж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.] М.: Физматлит, 1963, 411 с. |
||
* ''Фихтенгольц Г. М.'' |
* ''Фихтенгольц Г. М.'' Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1966. |
||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
Версия от 10:15, 6 июня 2018
Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.
Сфера применения
Объектами приложения векторного анализа являются:
- Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
- Скалярные поля — функции на векторном пространстве.
Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:
- Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
- Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
- Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.
Векторные операторы
Наиболее часто применяемые векторные операторы:
- Ротор и дивергенция — для векторных полей.
- Градиент, лапласиан — для скалярных полей.
Оператор | Обозначение | Описание | Тип |
---|---|---|---|
Градиент | Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. | Скаляр вектор | |
Дивергенция | Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. | Вектор скаляр | |
Ротор | Характеризует вихревую составляющую векторного поля. | Вектор вектор | |
Лапласиан | Сочетание дивергенции с градиентом. | Скаляр скаляр |
Основные соотношения
Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.
Теорема | Запись | Пояснения |
---|---|---|
Теорема о градиенте | Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. | |
Теорема Грина | Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. | |
Теорема Стокса | Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности. | |
Теорема Остроградского — Гаусса | Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность. |
Исторический очерк
Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.
Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.
См. также
Литература
- Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
- Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
- Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
- Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.