У этого термина существуют и другие значения, см.
Признак Коши.
Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
Если для числового ряда
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af34647e168beb46e51ff2e4547712cf3f9d4ad)
с неотрицательными членами существует такое число
,
, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
,
то данный ряд сходится; если же, начиная с некоторого номера
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa57c513d8a48692fbd460d8589ec1c96cd1c663)
то ряд расходится.
Если
, то это сомнительный случай и необходимы дополнительные исследования.
Если же, начиная с некоторого номера,
, при этом не существует такого
,
, что
для всех
, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.
Предельная форма
Если существует предел
,
то рассматриваемый ряд сходится если
, а если
— расходится.
Замечание 1. Если
, то радикальный признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Замечание 2. Если
, и последовательность
стремится к своему пределу
сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.
Доказательство
Прежде всего нужно отметить, что если признак Коши выполняется для последовательности
, начиная с некоторого номера
, то можно рассмотреть подпоследовательность последовательности
, как раз начиная с этого номера. Ряд, составленный из такой подпоследовательности, будет сходиться. Но тогда будет сходиться и исходный ряд, поскольку конечное число
начальных членов последовательности
не влияет на сходимость ряда. В таком случае для упрощения доказательства имеет смысл принять
, то есть принять, что признак Коши выполняется для всех натуральных
.
- Пусть для всех натуральных
верно неравенство
, где
. Тогда можно записать
,
, …,
, и так далее. Поскольку и
, и все члены последовательности
неотрицательны, систему неравенств можно переписать так:
,
, …,
, и так далее. Складывая первые
неравенств, получим
. Это означает, что
-я частичная сумма ряда меньше
-й частичной суммы убывающей геометрической прогрессии с начальным членом
. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии сходится, поэтому по признаку сравнения знакоположительных рядов исходный ряд тоже сходится.
- Пусть
(для всех натуральных
): тогда можно записать
. Это означает, что модуль членов последовательности
не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность
не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется. Поэтому ряд расходится.
- Пусть
для всех натуральных
. При этом не существует такого
,
, что
для всех натуральных
. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда
и
удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда
верно
для любого натурального
, кроме
. В то же время, поскольку
, это означает, что для любого
,
можно подобрать такое число
, что
, и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности
, где
, будут находиться на интервале
, то есть
. А это и означает, что не существует такого
,
, что
для всех натуральных
. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда: точно также для всех
верно
,
. Но при этом второй ряд сходится.
Примеры
1. Ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76350caa32d8ea40dd605dcacba55a56814a120f)
- сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6963b629e1419492b8047b27ff2ea6fa8ef8e3d6)
2. Рассмотрим ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{n(n-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7433a6be948a0739a37f32cc7732f1e446ac0a19)
ряд сходится.
См. также
![Перейти к шаблону «Признаки сходимости рядов»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Для всех рядов | | ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381) |
---|
Для знакоположительных рядов | |
---|
Для знакочередующихся рядов | |
---|
Для рядов вида ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33) | |
---|
Для функциональных рядов | |
---|
Для рядов Фурье | |
---|