Стоимость под риском

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Value At Risk»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Стоимость под риском[1] (англ. Value at risk, VaR) — стоимостная мера риска. Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.

VaR характеризуется тремя параметрами:

  • Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой ситуации. По базельским документам — 10 дней, по методике RiskMetrics — 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.
  • Доверительный уровень (confidence level) — уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99 %, в системе RiskMetrics — 95 %.
  • Базовая валюта, в которой измеряется показатель.

VaR — это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99 %), не будет превышена. Следовательно, в 1 % случаев убыток составит величину, большую чем VaR.

Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Есть уверенность на X% (с вероятностью X/100), что потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении неизвестная величина Y является VaR.

Содержание

Общие свойства[править | править код]

VaR является относительно простой в интерпретации риск-метрикой, характеризующей в целом исследуемое распределение. Ей присущи два основных недостатка[2]:21-22:

Методы измерения[править | править код]

Способы оценки VaR:

  • Исторический (непараметрический): распределение доходностей берётся из уже реализовавшегося временного ряда. То есть предполагается, что распределение доходностей в будущем будут аналогично историческому.
  • Параметрический: оценка выполняется в предположении, что известен вид распределения доходностей (чаще всего оно предполагается нормальным или логнормальным).
  • Метод Монте-Карло.

Непараметрические методы[править | править код]

Пример отсечения 5 % худших доходностей

Непараметрические подходы являются наименее ограничительными относительно принимаемых условий.

Исторический метод[править | править код]

Для выполнения исторической оценки достаточно проранжировать исторические значения доходностей от наибольшего к наименьшему. Первое значение, превышающее установленный доверительный уровень, и будет искомым значением VaR.

То есть для доверительного интервала следует выбирать значение доходности с номером ,

где:

  •  — количество наблюдений доходности,
  •  — уровень значимости[5]:84-85.

Бутстрэппинг[править | править код]

Бутстрэп — относительно простая методика, заключающаяся в перевыборке «с возвратом» из имеющейся популяции[5]:85-86.

Непараметрическая оценка плотности распределения[править | править код]

Пример построения непрерывной суррогатной функции плотности распределения методом интерполирования[5]:87

Недостаток исторического подхода — дискретность имеющихся наблюдений, что затрудняет оценку VaR для промежуточных значений. Непараметрическая оценка плотности распределения позволяет обойти это ограничение посредством интерполирования между имеющимися историческими значениями.

Одним из наиболее простых решений является интерполяция по медианным значениям между каждыми двумя соседними наблюдениями.

В результате интерполяции выполняется построение непрерывной суррогатной функция плотности распределения[5]:86-88.

Взвешенные исторические подходы[править | править код]

Взвешенные исторические подходы используются для обхода эффекта резкого отсечения значений за граничной точкой. Так, при невзвешенном подходе вес отсечённых значений принимается равным 0, а каждого из оставшихся — . Соответственно, рассчитываемое значение VaR будет искажено из-за чрезмерного значения весов оставшихся значений. Кроме того, невзвешенные подходы предполагают отсутствие зависимости наблюдений от внешних факторов и между собой, что не соответствует реальному рынку[6][5]:92-93.

Историческое моделирование, взвешенное по возрасту[править | править код]

Взвешивание по возрасту позволяет назначить более новым наблюдениям больший вес по сравнению с более старыми.

Один из методов — назначение весам параметра затухания со степенью , прямо пропорциональной порядковому номеру наблюдения[7]. То есть если принять вес наблюдения за предыдущий день, равный , то веса наблюдений за предшествующие ему дни будут равны: , и т. д. Параметр затухания позволяет задать экспоненциальную скорость затухания весов наблюдений; значения, близкие 1, соответствуют низкой скорости затухания, близкие 0 — высокой. При этом вес наблюдения за предыдущий день принимается равным:

,

где  — совокупное количество наблюдений.

Соответственно:

[5]:93.
Историческое моделирование, взвешенное по волатильности[править | править код]

Предложенное в 1998 году Халлом[en] и Уайтом[en] взвешивание по волатильности позволяет учесть эффект циклов пониженной и повышенной волатильности. Использование стабильных значений волатильности в периоды повышенной рыночной турбулентности приведёт к недооценке VaR. И наоборот, повышенная волатильность в расчётах в периоды стабильного рынка приведёт к завышению оценки VaR.

Корректировка по волатильности выполняется по прогнозным значениям, полученным моделями GARCH или EWMA. Например, если прогноз выполняется для некоего будущего дня , откалиброванное значение доходности получается следующим образом:

,

где:

  •  — доходность актива за день .
  •  — прогноз волатильности актива за будущий день .
  •  — волатильность актива за день [8][5]:94-95.
Историческое моделирование, взвешенное по корреляции[править | править код]

Взвешивание по корреляции позволяет выполнить калибровку на различия между текущими и историческими значениями корреляции между парами активов.

Подход подразумевает применение ковариационных матриц, скорректированных с учётом актуализированных значений волатильностей активов (диагональные элементы ковариационной матрицы)[9][5]:95-96.

Фильтрованное историческое моделирование[править | править код]

Фильтрованное историческое моделирование является наиболее продвинутым непараметрическим методом. Он сочетает в себе полу-параметрический бутстрэппинг с моделями условной волатильности (типа GARCH).

Метод чувствителен к рыночным показателям и может выдать результат вне диапазона исторических значений. Фильтрованное историческое моделирование относительно быстро отрабатывает даже для больших портфелей и обладает хорошей прогнозирующей способностью[10].

Недостатком метода является недостаточный учёт экстремальных исторических значений[11][5]:96-98.

Параметрический метод для изолированного актива[править | править код]

В случае, если портфель состоит из одной позиции, значение VaR для нормального распределения принимается равным:

,

где:

  •  — размер позиции,
  •  — доходность позиции за единицу времени,
  •  — волатильность позиции в единицу времени,
  •  — оцениваемый горизонт.

Соответственно, для логнормального распределения справедливо следующее соотношение[5]:161:

Параметрический метод для многокомпонентного портфеля (вариационно-ковариационный)[править | править код]

Пусть имеется активов, стоимость которых может случайным образом изменяться. Темпы возможного прироста стоимости активов обозначим и назовем их доходностями. Обозначим  — вектор доходностей (случайных величин) этих активов и  — ковариационную матрицу (матрица ковариаций ) доходностей. Все доходности вычисляются для выбранного периода.

Портфель активов характеризуется вектором структуры , где  — доля стоимости -го актива в портфеле.

Тогда доходность портфеля выразится через доходности активов следующим образом:

Тогда ожидаемая (математическое ожидание) доходность портфеля выражается через ожидаемые доходности активов следующим образом:

а дисперсия портфеля будет равна

Если предполагается нормальное распределение доходностей, то для заданной вероятности (например, 5 % или 1 %)

где  — односторонняя -квантиль стандартного нормального распределения.

Следовательно, величина VaR оценивается как

.

На практике истинное значение ковариаций, в том числе дисперсий «доходностей» неизвестны. Они оцениваются по выборочным данным за длительный период по соответствующим формулам. При этом предполагается стационарность «доходностей» активов.

Метод Монте-Карло[править | править код]

В случае однофакторной модели изменение цены позиции описывается геометрическим броуновским движением. Соответственно, генерируются значения дрифтов (винеровских процессов), определяемых нормальным распределением[5]:213-214:

.

В случае же многофакторной модели матрица корреляций значений дрифтов разных позиций предварительно обрабатывается разложением Холецкого или другими, менее ограничительными, но более вычислительно затратными преобразованиями[5]:215-217.

Симуляции методом Монте-Карло широко применяются для прайсинга комплексных портфелей и нелинейных деривативов. Одной из основных препятствием в использовании метода являются высокие требования к вычислительным мощностям[5]:225.

Ожидаемые потери (Expected Shortfall)[править | править код]

Одним из способов оценки портфельных рисков является оценка ожидаемых потерь (англ. Expected Shortfall, ES) — взвешенное по вероятности математическое ожидание потерь в хвосте распределения за предельным значением VaR[12].

Если случайную величину возможных потерь обозначить , то определение ES:

Таким образом, если (где Lp (пространство)) — это потери портфеля в некотором будущем и , тогда формула определения средних ожидаемых потерь:

,

где  — Value at Risk уровня ,  — плотность распределения потерь.

В отличие от базового VaR, такая мера позволяет уже не только выделить нетипичный уровень потерь, но и показывает, что, скорее всего, произойдет при их реализации. ES уровня определяет ожидаемый возврат по портфелю в худших случаях. CVaR оценивает значение (или риск) инвестиций консервативным образом, ориентируясь на менее прибыльные результаты. При больших значениях CVaR игнорирует самые прибыльные стратегии, у которых мала вероятность наступления, при малых значениях CVaR строится на самых плохих сценариях. Значение , которое часто используется на практике, составляет .

В случае нормального распределения ES будет равен:

где  — плотность, а  — интегральная функция стандартного нормального распределения ( — это квантиль уровня ).

Маппинг VaR[править | править код]

Пример маппинга (декомпозиции) по риск-факторам[13]:280

Суть маппинга VaR (англ. VaR mapping) сводится к замене позиций различных инструментов на соответствующие риск-факторы с дальнейшей их агрегацией[13]:278.

Риски портфеля могут быть разделены на два типа: диверсифицируемый (англ. specific risk) и общий рыночный риск (англ. general market risk). Первый риск может быть снижен посредством использования более точных и вычислительно затратных моделей.

Если доходность инструментов в портфеле представлена в виде:

,

то дисперсия портфеля с активов выражается следующим образом:

,

где первый член соответствует рыночному риску, второй — диверсифицируемому, связанному со специфическими риск-факторами[13]:281-282.

Маппинг VaR для портфелей инструментов с фиксированной доходностью[править | править код]

Следующим этапом после выбора специфических риск-факторов является маппинг VaR на эти факторы.

Для портфелей с фиксированной доходностью применяется один из трёх методов:

  • маппинг по номинальной стоимости (англ. principal mapping) — самый простой метод: VaR рассчитывается для бескупонной облигации, срок погашения которой совпадает со средним сроком обращения исследуемого портфеля. Использование метода приводит к завышенной оценке VaR ввиду игнорирования пересекающихся купонных платежей[13]:284.
  • маппинг по дюрации (англ. duration mapping) — маппинг на бескупонную облигацию с дюрацией, равной дюрации портфеля.
  • маппинг по денежным потокам (англ. cash-flow mapping) — самый сложный метод: денежные потоки группируются по корзинам с различными сроками обращения (англ. maturity buckets)[13]:283.

В последнем случае каждый поток приводится по дисконтированной стоимости по ставке кривой бескупонной доходности. Если соответствующие бескупонные облигации полностью скоррелированы между собой, то недиверсифицированная VaR представляется в виде:

,

где:

  •  — дисконтированные значения потоков,
  •  — индивидуальные значения VaR потоков (в %).

Если же бескупонные облигации не идеально скоррелированы, возникает эффект диверсификации, и VaR представляется в виде:

,

где:

  •  — вектор значений VaR бескупонных облигаций,
  •  — матрица корреляций[13]:284-285.

Маппинг VaR для форвардов[править | править код]

Форварды являются простейшими линейными деривативами, которые могут быть представлены синтетическим портфелем из базовых риск-факторов. Например, длинный годовой контракт на покупку в будущем евро за доллары США аналогичен портфелю из трёх следующих позиций:

  1. Короткая позиция в казначейских векселях,
  2. Длинная позиция в годовых евровекселях,
  3. Длинная позиция в евро.

Для оценки VaR такого валютного форварда следует использовать значения индивидуальных VaR вышеуказанных позиций с последующим применением матрицы корреляций между ними[13]:289-292.

Маппинг VaR для FRA[править | править код]

Суть декомпозиции FRA также сводится в представлении контракта в виде синтетического портфеля с дальнейшей оценкой компонетных VaR (англ. component VaR) базовых позиций. Например, длинный 6 x 12 FRA представим в виде портфеля из длинных 6-месячных казначейских облигаций и коротких 12-месячных казначейских облигаций[13]:294-295.

Маппинг VaR для процентных свопов[править | править код]

Процентные свопы могут быть декомпозированы в соответствии с фиксированной и плавающей ногой, соответственно, на облигации с фиксированным и плавающим купоном[13]:296.

Маппинг VaR для опционов[править | править код]

Дельта-нормальный подход, описанный выше, предполагает линейную зависимость дериватива от базового актива. Этот метод может ограниченно применяться и для опционов, которые являются нелинейными инструментами. Так, следуя модели Блэка — Шоулза, внутренняя стоимость европейского колл-опциона определяется соотношением:

,

где:

.

Соответственно, внутренняя стоимость, продифференцированная по частным производным:

,

где:

.

Дельта опцинов в целом не является постоянной величиной и монотонно возрастает в зависимости от спот-цены базового актива. Кроме того, для краткосрочных опционов эта зависимость проявляет значительный нелинейный характер. Соответственно, в контексте опционов дельта-нормальный подход применим только для долгосрочных договоров на коротких горизонтах, например, 1 день[13]:298-300.

VaR в оценке риска ликвидности[править | править код]

Базель II: стресс-тестирование[править | править код]

Ретроспективное тестирование[править | править код]

Ретроспективное тестирование (бэктестинг; англ. Backtesting) заключается в сравнении значений убытков, предсказанных моделью VaR, с реальными данными. Количество реальных убытков не должно превышать значение уровня значимости ; например, для доверительного уровня 90 % количество исключений не должно быть больше 10[13]:139-142.

Бэктестинг используется для верификации моделей VaR и проводится по схеме Бернулли:

,

где:

  •  — z-оценка,
  •  — количество исключений,
  •  — уровень значимости,
  •  — временной интервал.

Полученная z-оценка сравнивается с критическим значением , соответствующим выбранному одностороннему доверительному уровню нормального распределения. В случае если , следует отвергнуть нулевую гипотезу о несмещённости VaR и провести калибровку модели (количество исключений превышает допустимый уровень)[13]:143-144.

При выборе допустимого количества исключений следует руководствоваться компромиссом между ошибками первого и второго рода — то есть модель должна характеризоваться как низким количеством ошибок первого рода (неверное отвержение верной нулевой гипотезы), так и очень низким количеством ошибок второго рода (неверное принятие неверной нулевой гипотезы)[13]:146.

Безусловная валидация модели VaR[править | править код]

В случае, если не учитывается взаимная зависимость исключений или их временны́е характеристики, такая валидация модели VaR обозначается как безусловная (англ. Unconditional coverage).

Тест отношения правдоподобия выполняется следующим образом:

,

где:

  •  — количество исключений,
  •  — размер выборки,
  •  — уровень вероятности.

Для уровня достоверности 95 % должно выполняться условие , в противном случае гипотеза о точности модели должна быть отвергнута[14][13]:146-147.

VaR в управлении рисками[править | править код]

Филипп Джорион писал : [17] «Наибольшая польза VAR заключается в наложении структурированной методологии для критического мышления о риске. Учреждения, которые проходят через процесс вычисления VAR, вынуждены встать перед фактом их подверженности финансовым рискам и создать надлежащие функции управления риском. Таким образом, процесс получения VAR может быть столь же важен, как и само число VAR». Существуют рекомендации по применению:

  • Убытки от одно- до трёхкратной величины VaR являются нормальным явлением. Распределение потерь обычно имеет высокие коэффициенты асимметрии и эксцесса, и можно получить больше, чем одно превышение в течение короткого периода времени. Кроме того, рынки могут быть анормальными и торговля может увеличить потери. Таким образом, учреждение, которое не может справиться с 3-кратными VaR потерями в качестве рутинного события, вероятно, не будет существовать достаточно долго для внедрения VaR-системы.
  • Убытки от трёх- до десятикратной величины VaR являются диапазоном для стресс-тестирования. Учреждения должны быть уверены, что они изучили все известные события, которые вызывают потери в этом диапазоне, и готовы пережить их. Эти события слишком редки, чтобы оценить их вероятность надежно, поэтому расчеты риск / доходность бесполезны.
  • Прогнозируемые события не должны вызывать потери в десять раз большие, чем VaR. Если есть такие события, они должны быть хеджированы или застрахованы, или бизнес-план должен быть изменён, чтобы избежать их, или VaR должно быть увеличено. Есть, конечно, и непредвиденные убытки более чем в десять раз превышающие VaR, но вы не можете знать много о них, и их учёт приводит к ненужным беспокойствам. Лучше надеяться, что дисциплина подготовки для всех известных VaR потерь (от трехкратных до десятикратных) повысит шансы на выживание в случае непредвиденных и больших потерь, которые неизбежно возникают.

VaR в портфельной оптимизации[править | править код]

При решении задачи построения оптимального портфеля часто используются различные меры рисков, такие как дисперсия, VaR, CVaR, DaR, CDaR. Существуют различные постановки задач оптимизации, где меры рисков используются как при построении целевых функций, так и для определения множества допустимых решений (ограничения)[15]. Для решения подобных задач на практике используются специализированные пакеты численной оптимизации, например, PSG.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Халл, Д. К. Стоимость под риском // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. — 6. — Издательский дом Вильямс, 2008. — С. 597. — 1051 с. — ISBN 5845912059.
  2. Gregory, 2015.
  3. McNeil A., Frey R., Embrechts P. Risk Measures for Linear Portfolios // Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. — Princeton University Press, 2015. — P. 297. — 720 p. — (Princeton Series in Finance). — ISBN 0691166277.
  4. Artzner P. et al. Coherent measures of risk : [англ.] // Mathematical finance. — 1999. — Vol. 3, no. 9. — P. 203-228. — DOI:10.1111/1467-9965.00068.
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Dowd, 2005.
  6. Shimko D., Humphreys B., Pant V. End-user's Guide Hysterical Simulation : [англ.] // Risk. — 1998. — Т. 11. — P. 47—50.
  7. Boudoukh J., Richardson M., Whitelaw R. The best of both worlds : [англ.] // Risk. — 1998. — Т. 11, № 5. — P. 64—67.
  8. Hull J., White A. Incorporating volatility updating into the historical simulation method for value-at-risk : [англ.] // Journal of risk. — Vol. 1, no. 1. — P. 5—19.
  9. Duffie D., Pan J. An overview of value at risk : [англ.] // Journal of derivatives. — 1997. — Vol. 4, no. 3. — P. 7—49.
  10. Barone‐Adesi G., Giannopoulos K. Non parametric var techniques. myths and realities : [англ.] // Economic Note. — 2001. — Vol. 30, no. 2. — P. 167—181.
  11. Pritsker M. The hidden dangers of historical simulation : [англ.] // Journal of Banking & Finance. — 2006. — Vol. 30, no. 2. — P. 561—582.
  12. Jorion P. Tools for Measuring Risk // Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. — 3. — McGraw-Hill, 2006. — P. 91. — 596 p. — ISBN 9780071464956.
  13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Jorion, 2006.
  14. Kupiec P. H. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models : [англ.] // The Journal of Derivatives. — 1995. — Vol. 3, no. 2 (January). — P. 73—84. — DOI:10.3905/jod.1995.407942.
  15. Portfolio optimization by minimizing conditional value-at-risk, <http://www.ise.ufl.edu/uryasev/files/2011/11/portfolio_optimization_by_minimizing_conditional_value-at-risk.pdf> 

Литература[править | править код]

  • Dowd K. Measuring Market Risk. — 2. — John Wiley & Sons Ltd, 2005. — 390 p. — ISBN 9780470013038.
  • Gregory J. The xVA Challenge: Counterparty Credit Risk, Funding, Collateral and Capital. — John Wiley & Sons, 2015. — 496 p. — (The Wiley Finance Series). — ISBN 1119109418.
  • Jorion P. VAR mapping // Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. — McGraw-Hill, 2006. — 602 p. — ISBN 9780071464956.