Преобразование Фурье на группах

См. также: Преобразование Фурье над конечным полем

Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Вспомогательные понятия

• Конечномерное представление группы $G$ — это отображение $\pi :G\mapsto GL(V)$ из $G$ в группу обратимых линейных преобразований векторного пространства $V$, такое что для любых $g_{1},g_{2}\in G$

$\pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).$

Другими словами, $\pi$ — гомоморфизм групп $G$ и $GL(V)$.

• Представление называется унитарным если $\pi (G)\subset U(V)$, где $U(V)$ — группа унитарных преобразований пространства $V$.
• Представления $\pi :G\mapsto GL(V)$ и $\rho :G\mapsto GL(V)$ называются эквивалентными если переход от одного к другому может быть осуществлён равномерной сменой базиса, то есть если есть преобразование $T\in GL(V)$ такое что для любого $g\in G$

  $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

• Представление $\rho :G\mapsto GL(W)$ называется подпредставлением представления $\pi$ если $W$ — подпространство $V$ и для любых $g\in G$ и $w\in W$

$\rho (g)w=\pi (g)w.$

Другими словами, $W$ является инвариантным подпространством $\pi (g)$ и $\rho (g)$ — сужение $\pi (g)$ на $W$.

• Представление называется неприводимым если у него нет подпредставлений, кроме него самого и подпредставления, отображающего в нульмерное подпространство.

• Двойственным множеством ${\hat {G}}$ называется полное множество неэквивалентных неприводимых унитарных представлений $G$.

Определение

Преобразование Фурье функции $f\in L^{2}(G)$ определяется как матричная функция ${\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G}})$ такая что

${\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).$

В таких обозначения, обратное преобразование записывается в виде

${\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}}[\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}$ где $d_{\pi }$ — размерность линейного пространства, преобразования которого задаёт $\pi (g)$.

Мотивировка

В непрерывном случае преобразование Фурье ${\hat {f}}$ квадратично интегрируемой функции $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ соответствует разложению $f(x)$ по ортонормированному базису $\{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \}$ гильбертова лебегова пространства $L^{2}(\mathbb {R} )$

${\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(y)e^{2\pi iyx}dy.}$

Преобразование Фурье периодической функции $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ соответствует её разложению по ортонормированному базису $\{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \}$ пространства $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

${\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ikx}.}$

Дискретное преобразование Фурье функции $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ соответствует разложению по ортонормированному базису ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\dots ,n-1\right\}}$ пространства $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

${\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^{\frac {2\pi ikj}{n}}}$

В общем случае, преобразование Фурье на группах соответствует разложению функции $f\in L^{2}(G)$ по некоторому ортонормированному базису $L^{2}(G)$.

Литература

• Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (англ.) — Cambridge University Press, 1999. — 456 p. — ISBN 978-0-511-62626-5 — doi:10.1017/CBO9780511626265
• Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (англ.) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering — 2019. — P. 21—28. — doi:10.1007/978-3-030-13697-0_2