Закон Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

\tfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}

Здесь

~\rho — плотность жидкости,
~v — скорость потока,
~h — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
~p — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
~g — ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли[1](не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли[2][3] или интегралом Бернулли[4][5].

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»[6]).

Соотношение, близкое[7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота h постоянна и уравнение Бернулли принимает вид:   \tfrac{\rho v^2}{2}+p=\mathrm{const}.

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности \rho:   v\tfrac{dv}{dx}=-\tfrac {1}{\rho}\cdot \tfrac {dp}{dx}.

BernoullisLawDerivationDiagram.png

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового (\rho g h), статического (p) и динамического \left(\tfrac{\rho v^2}{2}\right) давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[8]), в магнитной гидродинамике[9], феррогидродинамике[10].

Одно из применений[править | править вики-текст]

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости \Delta h; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

\rho g h + p_0 = \frac{\rho v^2}{2} + p_0,

где

p_0 — атмосферное давление,
h — высота столба жидкости в сосуде,
v — скорость истечения жидкости,
z\, +\, \frac{p}{\rho g} — гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты  \frac{p}{\rho g}).

Отсюда: v = \sqrt{2gh}. Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.

Часто уравнение Бернулли записывается в виде:

Hd\, =\, z\, +\, \frac{p}{\rho g}\, +\, \frac{v^2}{2\,g}=\, \text{const}\,

где

Hd\, — гидродинамический напор,
 \frac{v^2}{2\,g} — скоростной напор.

Для сжимаемого идеального газа[править | править вики-текст]

\frac {v^2}{2}+ gh+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho}   = \mathrm{const}[11] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

\gamma = \frac{C_p}{C_V} — Адиабатическая постоянная газа
p — давление газа в точке
\rho — плотность газа в точке
v — скорость течения газа
g — ускорение свободного падения
h — высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле gh заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли[править | править вики-текст]

Из статистической физики следует, что на линиях тока при адиабатическом течении остается постоянным следующее соотношение:

  \frac{v^2}{2} + w + \varphi = \mathrm{const}

где  w  — энтальпия единицы массы,  \varphi — потенциал силы.

Практические следствия[править | править вики-текст]

  • закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися вблизи границ потоков движущихся жидкостей (газов). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд.[12] Аналогично «затягивающая сила» возникает при движении судов параллельным курсом[13]: например, подобные инциденты происходили с лайнером «Олимпик».
  • Автоаварии: проносящиеся мимо многотонные грузовики с прицепами притягиваются к стоящему на обочине автострады автомобилю. Это одна из опасностей, которыми объясняют запрет на остановку автомобилей на обочинах автострад.

Приложение[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — Т. 1. — 224 с.
  2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
  3. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.
  4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
  5. Чёрный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2.
  6. Чугаев Р.Р. Гидравлика. — Л.: Энергия, 1975. — 600 с.
  7. В частности, в записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало давление, см. Трусделл К. Очерки по истории механики. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3.
  8. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1987. — № 3. — С. 176–178. — DOI:10.1007/BF01051932
  9. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматлит, 1962. — С. 54. — 248 с.
  10. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Пер. с англ. под ред. В.В.Гогосова. — М.: Мир, 1989. — С. 136. — 359 с. — ISBN 5-03-000997-3.
  11. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11
  12. Валерий Панкрашин. Камни для „Сапсана“, или „месть бедных“. Би-Би-Си (26 марта 2010). Архивировано из первоисточника 5 февраля 2012.
  13. «Отчего притягиваются корабли?» / Я. И. Перельман.