Размерность Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

\lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\ln(N_\varepsilon)}{-\ln(\varepsilon)},

где N_\varepsilon — минимальное число множеств диаметра \varepsilon, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры[править | править вики-текст]

  • размерность конечного множества равна нулю, так как для него \rho(n) не превосходит количества элементов в нем.
  • размерность отрезка равна 1, так как необходимо \lceil a/\epsilon\rceil отрезков длины \epsilon, чтобы покрыть отрезок длины a. Таким образом,
    \lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1,
  • размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю 1/n, необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной a, ведет себя примерно как a^2n^2.
  • размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна \ln4/\ln3.
  • размерность Минковского множества \{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\} равна 1/2.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
  • Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
  • Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000