Размерность Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Размерность Минковского ограниченного множества в метрическом пространстве равна

$\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}$ ,

где $N ε$ — минимальное число множеств диаметра $ε$ , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

[править] Примеры

размерность конечного множества равна нулю, так как для него $ρ(n)$ не превосходит количества элементов в нем.
размерность отрезка равна 1, так как необходимо $\lceil a/\epsilon\rceil$ отрезков длины $ε$ , чтобы покрыть отрезок длины $a$ . Таким образом,

$\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1$ ,
размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю $1 / n$ , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной $a$ , ведет себя примерно как $a 2 n 2$ .
размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна $ln4 / ln3$ .

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра $1 / n$ , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра $2 / n$ . Поэтому для отрезка имеем $\rho(n)\approx 2\rho(n/2)$ . То есть, при увеличении $n$ в два раза $ρ(n)$ увеличивается тоже в два раза. Иными словами, $ρ(n)$ — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает $\rho(n)\approx 4\rho(n/2)$ . То есть, при увеличении

n

в два раза

ρ(n)

увеличивается в 4 раза. Иными словами,

ρ(n)

— квадратичная функция.

Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё $\rho(n)\approx 4\rho(n/3)$ . Подставляя

n = 3 k

, получаем $\rho(3^k)\approx 4\rho(3^{k-1})\approx 4^2\rho(3^{k-2})\approx \dots\approx 4^k\rho(1)=4^{\log_3 n}\rho(1)=n^{\ln4/ln3}\rho(1)$ . Отсюда следует, что размерность равна

ln4 / l n 3

.

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет $4 n$ равных отрезков, длиной $3 - n$ . Возьмём за ε отрезок длиной $3 - n$ , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится $4 n$ отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→ $\infty$ . Получим

размерность Минковского множества $\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\}$ равна 1/2.

[править] Свойства

Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

[править] См. также

Размерность Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Примеры

[править] Свойства

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках