Простые числа-близнецы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Простые числа-близнецы, или парные простые числа — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация[править | править исходный текст]

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид 6n\pm 1.

По модулю 30 все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид (11, 13), (17, 19) или (29, 1)[1]

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа 3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1 [2]. Они были найдены 24 декабря 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid[3].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество \pi_2(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int\limits_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}

где C_2 — константа простых-близнецов:

C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots

Теорема Бруна[править | править исходный текст]

Вигго Брун в 1919 доказал, что \pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2} и ряд обратных величин сходится

B_2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)
+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\ldots

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.

Значение B_2 \approx 1.902160583104 называется константой Бруна для простых-близнецов.

Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.

Списки[править | править исходный текст]

Самые большие известные простые близнецы

  • 3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1 (200700 цифр)
  • 52464467530725 \cdot 2^{555500}\pm 1
  • 65516468355 \cdot 2^{333333}\pm 1 (100355 цифр)
  • 2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1 (58711 цифр)
  • 194772106074315 \cdot 2^{171960} \pm 1 (51780 цифр)
  • 100314512544015 \cdot 2^{171960} \pm 1 (51780 цифр)
  • 16869987339975 \cdot 2^{171960} \pm 1 (51779 цифр)

Простые числа-триплеты[править | править исходный текст]

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент, наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:

(p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 233333 − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)

Квадруплеты простых чисел[править | править исходный текст]

Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309),... — последовательность A007530 в OEIS.

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел[править | править исходный текст]

Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) ... — последовательность A022008 в OEIS.

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Именно (29, 1), а не (29, 31).
  2. The Largest Known Primes
  3. World Record Twin Primes