Символ Похгаммера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символ Похгаммера — обозначение функции, задаваемой произведением:

(x)_n=\prod^{n}_{k=1}(x+k-1)=x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1),

где n\geqslant0целое число. Название дано по имени немецкого математика Лео Похгаммера.

Символы Похгаммера удовлетворяют соотношению:

(-x)_n=(-1)^n\cdot(x-n+1)_n.

В частном случае, при x=1 символ Похгаммера даёт факториал:

(1)_n=n!.

Символ Похгаммера можно выразить через гамма-функцию:

(x)_n=\frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}.

Производная символа Похгаммера:

\frac{d}{dx}(x)_n=(x)_n\cdot\left(\psi_0(n+x)-\psi_0(x)\right),

где \psi_0(x)дигамма-функция.

Символ Похгаммера связан с числами Стирлинга первого рода s(n,k):

(x)_{n} = \sum_{k=0}^n {(-1)}^{n-k}s(n,k)\cdot x^k,

Ссылки[править | править исходный текст]