Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:
![{\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bac765ad24689ef8de94bbfab0fb776c0d02502)
где
— это оператор Лапласа, а неизвестная функция
определена в
(на практике уравнение Гельмгольца применяется для
).
Вывод уравнения
Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:
![{\displaystyle \triangle u({\bar {x}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x}},t)}{\partial t^{2}}}=f({\bar {x}},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825857bb8cb405c13e09f9183917cde7a79e2c93)
Пусть функции
и
допускают разделение переменных:
, и пусть
. Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду:
![{\displaystyle \triangle U({\bar {x}})+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3d0414af6a5922d17f6923b58cf8fdcd9af832)
где
— это квадрат модуля волнового вектора.
Решение уравнения Гельмгольца
Случай однородного уравнения
Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса
в полярных координатах (
) уравнение принимает вид:
![{\displaystyle U_{rr}+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{\varphi \varphi }+k^{2}U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1abd8153d4eae5bd54cefad0ef3a7bcf483a9c)
Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от
:
![{\displaystyle U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94277198718700066207ef4abdba807befba2754)
![{\displaystyle {\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d977e457d0ae0e56b4d282005d77b8e3c4247c9f)
а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:
![{\displaystyle \displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f74cfe660cb5dbb9095d3d1d64fd17d9590f84)
Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции
и
где
—
-й корень функции Бесселя
-го порядка.
Случай неоднородного уравнения
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:
![{\displaystyle \triangle U+k^{2}U=\delta (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfd600d968764301afb6cda856082c7bd6e01b4)
Покажем, что в трёхмерном случае
фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:
![{\displaystyle U_{1}^{(3)}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{(3)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fc7f4ca50fb4769128ab165597a7ffe5af39de)
В самом деле, воспользуемся равенствами:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1acfd6ca7f0da27131beb9f552d1a3e0a4fbb3)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{ik|x|}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{ik|x|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4141de3260cf0a7dcab178694e2787cefeb4d94f)
![{\displaystyle \triangle e^{ik|x|}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{ik|x|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101f6e8b9affd6d12f156eee00fd2fbaa3980fe4)
и формулой, доказываемой в курсе математической физики:
![{\displaystyle \triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{3/2}}{\Gamma (3/2)}}\delta (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15639ecc65368e2a283808a0fc89de9a3ef54b03)
Получаем:
![{\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc49dcf9db065d782c0fd9939ce0d4f3b5990e85)
![{\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552c9ce9588fac4669c90002047245d95bb1be41)
Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:
![{\displaystyle U_{1}^{(2)}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x|),\qquad U_{2}^{(2)}={\frac {i}{4}}H_{0}^{(2)}(k|x|),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9a6068869f596039a8a618c0b0e9b1976dfb36)
а в одномерном:
![{\displaystyle U_{1}^{(1)}(x)={\frac {e^{ik|x|}}{2ik}},\qquad U_{2}^{(1)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{2ik}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b876cb0c6b41594f5c499740c0a726593b9f560)
Литература
![Перейти к шаблону «Математическая физика»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Виды уравнений | |
---|
Типы уравнений | |
---|
Краевые условия | |
---|
Уравнения математической физики | |
---|
Методы решения | ![Перейти к шаблону «Методы решения ДУ»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Сеточные методы | Конечноэлементные методы | |
---|
Другие методы | |
---|
|
---|
Не сеточные методы | |
---|
|
---|
Исследование уравнений | |
---|
Связанные темы | |
---|