Бесконечное множество

Бесконе́чное мно́жество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

• Множество, в котором для любого натурального числа $n$ найдётся конечное подмножество из $n$ элементов.
• Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
• Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
• Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются $\aleph _{\alpha },$ где индекс $\alpha$ пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является $\aleph _{0}$ (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots \aleph _{\omega _{\omega _{1}}},\dots$

Примеры

• Множества натуральных чисел $\mathbb {N} ,$ целых чисел $\mathbb {Z} ,$ рациональных чисел $\mathbb {Q} ,$ действительных чисел $\mathbb {R} ,$ комплексных чисел $\mathbb {C}$ — являются бесконечными множествами.
• Множество функций $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ является бесконечным.
• Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке $[0,1].$
• Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также

• Бесконечность
• Кардинальное число
• Аксиоматика теории множеств
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гипотеза