Пересечение множеств

Пересечение $A$ и $B$

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств $A$ и $B$ обычно обозначается $A\cap B$, но в редких случаях может обозначаться $AB$.

Определение

Пересечение двух множеств

Пусть даны множества $A$ и $B$. Тогда их пересечением называется множество

$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.$

Пересечение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$ Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

$\bigcap \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \forall \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.$

Свойства

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^{X}$;
• Операция пересечения множеств коммутативна

  $A\cap B=B\cap A;$

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

  $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);$

• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:

  $\left(\bigcup _{k}A_{k}\right)\cap B=\bigcup _{k}\left(A_{k}\cap B\right)$

• Универсальное множество $U$ является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

  $A\cap U=A;$

• Операция пересечения множеств идемпотентна:

  $A\cap A=A;$

• Если $\varnothing$ — пустое множество, то

  $A\cap \varnothing =\varnothing .$

Пример

Пусть $A=\{1,\;2,\;3,\;4\}$, $B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$. Тогда

$A\cap B=\{3,\;4\}.$

См. также

• Операции над множествами