Полная линейная группа
Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.
Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C: V → V[1]. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.
Обычно обозначается GL(V).
Полная линейная группа порядка n — это группа обратимых матриц порядка n (то есть квадратных матриц с n строками и n столбцами)[2]. Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.
Обычно обозначается GL(n)[3]. Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: GL(n, K)[4] или GLn(K).
Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n, R), а если над комплексными числами, то GL(n, C).
Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве K n (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из K). Поэтому GL(n, R) = GL(Rn) и GL(n, C) = GL(Cn).
Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве V над полем скаляров K позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору C : V → V его матрицу — квадратную матрицу порядка n из компонент оператора C в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами GL(V) и GL(n, K) (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).
Свойства
[править | править код]Если V — векторное пространство над полем скаляров K, то полная линейная группа пространства V представляет собой группу всех автоморфизмов пространства V. Группу GL(V) и её подгруппы называют линейными группами.
В полной линейной группе GL(n, K) можно выделить подгруппу SL(n, K), состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка n, обозначаемая SL(n, K).
Другие важные подгруппы группы GL(n, K):
- Диагональная группа — группа D(n, K), состоящая из всех диагональных матриц порядка n;
- Треугольная группа — группа T(n, K), состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка n (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые);
- Унитреугольная группа — группа UT(n, K), состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка n, у которых диагональные элементы равны 1.
Группу GL(n, K) и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа GL(V) — линейная, но не матричная).
В частности, подгруппами группы GL(n, R) являются специальная линейная группа SL(n, R), ортогональная группа O(n), специальная ортогональная группа SO(n) и др.
Подгруппами группы GL(n, C) являются специальная линейная группа SL(n, C), унитарная группа U(n), специальная унитарная группа SU(n) порядка n и др.
Полные линейные группы GL(n, R) и GL(n, C) (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются[5] группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий.
Заметим ещё, что при n = 1 группа GL(n, K) фактически сводится к группе (K *, •) ненулевых скаляров поля K (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы GL(n, K) абелевыми не являются.
Примечания
[править | править код]- ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 24.
- ↑ Платонов В. П. Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417.
- ↑ Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — С. 268—271.
- ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 34.
- ↑ Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — С. 420.
Литература
[править | править код]- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — 496 с.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
- Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — 240 с.
См. также
[править | править код]