Аксиома бесконечности

Аксиомой бесконечности (Axiom of infinity) называется следующее высказывание теории множеств:

$~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ )$, где $~ b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\}$

Аксиома бесконечности провозглашает существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества, то есть множества, которое состоит из $~ \varnothing, \qquad \{\varnothing\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}, \ \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}\}, \quad ...$

Другие формулировки аксиомы бесконечности

$~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))$

$~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty)))$

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

$~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \{b\} \in a))$, где $~ \{b\}$ — множество, единственным элементом которого является $~ b$.

$~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \mathcal{P}(b) \in a))$, где $~ \mathcal{P}(b)$ — булеан множества $~ b$

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

См. также

• Аксиоматика теории множеств

• Математическая индукция

• Трансфинитная индукция