Principia Mathematica

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Principia Mathematica

Pmdsgdbhxdfgb2.jpg

Автор:

Альфред Норт Уайтхед, Бертран Рассел

Язык оригинала:

английский

Оригинал издан:

1910 (I том), 1912 (II том), 1913 (III том)

Издатель:

Cambridge University Press

Principia Mathematica («принципы математики» — лат.) — трёхтомный труд по логике и философии математики Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, выпущенный в 1910, 1912 и 1913 годах. Название монографии переводилось также как «Начала математики» или «Основания математики».

Наряду с "Органоном" (др.-греч. Όργανον) Аристотеля и работой «Основные законы арифметики» (нем. Grundgesetze der Arithmetik) Готлоба Фреге является одним из самых влиятельных трудов по логике в истории[1]. Объём «Principia Mathematica» в общей сложности составляет около 2000 страниц[2].

В своей работе Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать логицизм. Для этого была введена теория типов, в рамках которой было невозможно сформулировать понятие «множество всех множеств», которое приводило к парадоксу Рассела. Помимо этого, были введены две аксиомы: аксиома бесконечности (существует бесконечное число объектов) и аксиома сводимости (для каждого множества существует равнообъёмное ему множество первого порядка)[3].

История[править | править вики-текст]

Центральная идея «Principia Mathematica» о сводимости математики к логике (логицизм) была неявно высказана ещё Лейбницем в XVII веке, позже в явном виде её высказал Фреге, который разработал логико-математический аппарат, необходимый для технического обоснования логицизма[1].

В 1898 Уайтхед издаёт свою работу по логицизму «A Treatise on Universal Algebra», а в 1903 Рассел пишет статью «The Principles of Mathematics». Поскольку оба математика пришли к сходным выводам, а темы их работ перекликались, вскоре они начали сотрудничество над совместной работой, которая получила название «Principia Mathematica». Выбор названия был связан не столько с «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» Ньютона, сколько с работой Мура «Principia Ethica»[4][5].

На Рассела ложилась философская часть работы, технические же моменты писались совместно. Как писал Рассел:

Что касается математических проблем, Уайтхед разработал большую часть системы обозначений, за исключением того, что уже было у Пеано; я работал с рядами, а Уайтхед сделал почти всё остальное. Но это относится только к первым черновикам. Каждая часть переделывались 3 раза. Один из нас делал первый черновик текста и посылал второму, который обычно его существенно видоизменял и отправлял назад. Затем автор первоначального черновика приводил текст в окончательный вид. Едва ли существует хоть строчка во всех трёх томах, которая не является результатом совместной работы.

Bertrand Russell. My philosophical development. — London: Allen and Unwin, 1959. — P. 74. — 279 p. — ISBN 0041920155

Математики планировали закончить работу за год, однако спустя почти десять лет работа ещё не была завершена. К тому же издательство Cambridge University Press решило, что издание этой работы принесет убыток в 600 фунтов стерлингов, 300 из которых издательство было готово взять на себя, 200 пожертвовало Лондонское королевское общество, и по 50 выплатили издательству Рассел и Уайтхед из личных средств. В настоящий момент не существует ни одной академической библиотеки, где бы не было издания «Principia Mathematica»[1].

Содержание[править | править вики-текст]

Доказательство «1+1=2» из I тома «Principia Mathematica»

«Principia Mathematica» состоит из 3 томов, которые разделены на 6 частей.

I том вышел в свет в 1910 году и содержал базовые аксиомы и правила вывода аксиом более высокого порядка, элементарные операции над множествами и бинарные отношения, определение единицы и двойки как чисел. В I томе рассматривались теорема Цермело, аксиома выбора и теорема Кантора — Бернштейна.

II том был выпущен в 1912 году. В нём рассматривались кардинальные числа и арифметические операции над ними, конечные числа, арифметика бинарных отношений, линейно упорядоченные множества, упорядоченные множества Дедекинда, предельные точки и непрерывные функции.

III том был выпущен в 1913 году. В нём рассматривались вполне упорядоченные множества, полностью упорядоченные множества, множества целых, рациональных, вещественных чисел и их измерение. Также был затронут вопрос эквивалентности аксиомы выбора и принципа вполне упорядочения.

IV том планировался к выходу, но так и не был написан. Он должен был быть посвящён геометрии[1][6].

Критика и влияние[править | править вики-текст]

Книга «Principia Mathematica» стала большим достижением в двух отношениях: она существенно продвинула развитие математической логики и показала, как можно избавиться от всех известных парадоксов теории множеств. Однако авторы её претендовали на большее — выяснение сущности математического знания. В этом отношении их позиция нашла мало поддержки. Среди сторонников логицизма — Алонзо Чёрч и Уиллард Ван Орман Куайн, в лагере противников — такие крупные математики, как А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль и многие другие.

Критики атаковали как идеологию логицизма, так и его конкретное воплощение в книге. Они указывали, что непротиворечивость конструкции Рассела — Уайтхеда не доказана, и нет гарантии, что не появятся новые парадоксы. Особое неприятие вызвали предложенные авторами две новые аксиомы: аксиома бесконечности и аксиома сводимости. Многие математики утверждали, что эти аксиомы не являются чисто логическими[7]. Так, по мнению критиков, аксиома бесконечности является эмпирической, но не логической. А аксиома сводимости лишена интуитивной очевидности и была введена ad hoc для обхода неудобных эффектов теории типов. Таким образом, вопрос о научной ценности логицизма остался открытым[1].

Когда в работу по доказательству непротиворечивости формальных систем «Principia Mathematica» включился К. Гёдель, наступил переломный момент. В 1931 году Гёдель доказал невозможность обоснования непротиворечивости формальной арифметики с помощью её собственных средств, а предположение о её непротиворечивости означает невозможность доказательства всех перво-порядковых аксиом о натуральных числах (см. теорема Гёделя о неполноте). В научном сообществе эта теорема Гёделя была воспринята как невозможность полномасштабной реализации как логицизма, так и формализма. Результаты работы Гёделя по формальным системам «Principia Mathematica» затронули не только логику, математику и философию, но также и вопросы, лежащие в таких областях человеческого знания, как эпистемология, психология и методология систем искусственного интеллекта[3].

Несмотря на критику, «Principia Mathematica» продолжает оставаться одним из самых влиятельных логических трудов в мире. Благодаря этой работе намного бо́льшую популярность получила новая математическая логика. Одна из заслуг Рассела и Уайтхеда здесь в том, что им удалось, как никому ранее, показать мощность логики предикатов. Они также показали, насколько богатой и универсальной может быть идея формальных систем, и открыли тем самым новое направление исследований — металогику. «Principia Mathematica» оказала большое влияние на дальнейшее развитие логики и положила начало многим металогическим исследованиям. Так, в 1920 году Э. Пост доказал дедуктивную и функциональную полноту логики высказываний, а в 1930 году К. Гёдель доказал дедуктивную полноту логики предикатов[3]. Концепции книги повлияли также на работы таких логиков и математиков, как А. Тьюринг и А. Чёрч[1].

Помимо этого, Рассел и Уайтхед показали чёткую связь между логицизмом и двумя основными направлениями философии: метафизикой и эпистемологией. «Principia Mathematica» подстегнула развитие исследований в обоих направлениях и продолжает оказывать влияние на математику и логику[2].

Хотя попытки возродить логицизм Рассела и Уайтхеда продолжаются по сей день, многие авторы считают, что формальные системы «Principia Mathematica» слишком слабы или запутаны для того, чтобы реально обосновать возможность логицизма[1].

Переводы на другие языки[править | править вики-текст]

Перевод I тома книги на русский вышел в 2004 году, II тома — в 2005 году, III тома — в 2006 году. Перевод был выполнен под редакцией Г. П. Ярового и Ю. Н. Радаева[2].

Литература[править | править вики-текст]

Издание на русском языке[править | править вики-текст]

  • Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. — Самара: Самарский университет, 2005—2006. — ISBN 5-86465-359-4

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 5 6 7 Irvine, A. D. Principia Mathematica // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2010.
  2. 1 2 3 Самарский государственный университет. Проверено 7 августа 2013.
  3. 1 2 3 А. С. Карпенко. Принципы математики // Энциклопедия эпистемологии и философии науки. — М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация». И. Т. Касавин, 2009.
  4. Nicholas Griffin. The Cambridge Companion to Bertrand Russell. — Cambridge University Press, 2003. — P. 66. — 550 p. — ISBN 0521636345
  5. I. Grattan-Guinness. The Search for Mathematical Roots, 1870—1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Godel. — Princeton University Press. — 2011. — P. 380. — 624 p. — ISBN 1400824044
  6. Stanley Burris. Principia Mathematica: Whitehead and Russell (англ.). — 1997.
  7. Клайн М., 1984, с. 260—267