Пара (математика)

Пара в математике может быть определена с различных точек зрения.

Определение пары в формальной математике

Пусть $\mathbf T$ и $\mathbf U$ — термы и $\complement$ — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание $\complement TU$ также является термом и обозначается $(\mathbf{TU})$. Подробнее: соотношение $(\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y))$ обозначают словами «$z$ есть пара».

Имеет место так называемая аксиома пары.

Аксиома пары

$\forall x\forall y\forall x'\forall y' ((x,\;y)=(x',\;y')\to x=x'\and y=y').$

Определение пары в теории множеств

Число элементов множества $A$ равно 1, или $A$ состоит из одного элемента $a$, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества $\{a\}$ получается пустое множество: $A\setminus\{a\}=\varnothing$.

Непустое множество $A$ называется множеством из двух элементов, или парой: $A=\{a,\;b\}$, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in A$, останется множество, которое состоит также из одного элемента $b \in A$ (при этом определение не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента $a\in A$).

Упорядоченная пара

Если задана пара $\{a,\;b\}$, то множество $\{a,\;\{a,\;b\}\}$ называется упорядоченной парой и обозначается $(a,\;b)$. При этом элемент $a$ называется первым элементом, а элемент $b$ — вторым элементом пары.

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары $A=(a,\;b)$ называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается $\mathrm{pr}_1 A$. Аналогично второй элемент пары $A$ называется второй координатой или второй проекцией и обозначается $\mathrm{pr}_2 A$.