Умножение вектора на число
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Scalar_multiplication_of_vectors2.svg/300px-Scalar_multiplication_of_vectors2.svg.png)
Умноже́ние ве́ктора на число́ (англ. scalar multiplication of a vector) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число[1]. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого[2][3]:
- модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
- направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).
Обозначение произведения вектора и скаляра следующее[2][3]:
- или
В итоге получаем[2]:
Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю[2][3]:
Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:
Определение
[править | править код]Умножение вектора на число – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число[1].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Scalar_multiplication_by_n.svg/300px-Scalar_multiplication_by_n.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Scalar_multiplication_by_-n.svg/300px-Scalar_multiplication_by_-n.svg.png)
Вполне естественно, что умножение вектора на целое положительное число — то же самое, что сложение вектора с самим собою раз подряд (см. рисунок справа). В результате такой операции возникает новый вектор с тем же направлением, что и исходный вектор , но в раз большим модулем[4][5]:
Тогда умножение вектора на целое отрицательное число — то же самое, что умножение противоположного вектора на абсолютную величину целого числа (см. рисунок справа)[6]:
Другими словами, в результате такой операции возникает новый вектор с направлением, противоположным исходному вектору и в раз большим модулем[2][5].
Обобщая эти частные определения, получаем, что произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого[2][3]:
- модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
- направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.
Обозначения произведения вектора и скаляра прииняты такие[2][3]:
- или
Отсюда следует, что модуль произведения вектора и скаляра равен произведению их модулей[2]:
По поводу нулевых значений верно, что произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю[2][3]:
Законы умножения на скаляр
[править | править код]Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел[2]:
- переместительности (коммутативность);
- сочетательности (ассоциативность);
- распределительности (дистрибутивность).
Теорема 1. Закон переместительности. Произведение вектора на число не изменяется при перестановке сомножителей местами[2]:
Доказательство. По определению произведение вектора на число то же самое, что и произведение числа на вектор, обе эти операции тождественны[2].
Теорема 2. Закон сочетательности для числовых множителей. Последовательное произведение вектора на несколько чисел то же самое, что произведение этого вектора на произведение этих чисел[5][7]:
Оба вектора и обладают следующими двумя свойствами[8]:
- имеют одинаковые направления:
- если числа и одного знака, то оба вектора сонаправлены с вектором ;
- если числа и разных знаков, то оба вектора противоположно направлены вектору ;
- имеют одинаковые модули:
Следовательно, векторы
- и
равны как имеющие одинаковые направления и модули[8].
Теорема 3. Закон двоякой распределительности. Почленно можно вычислять[8]:
- произведение суммы векторов на число (закон распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов[1]):
- ;
- произведение суммы чисел на вектор (закон распределительности векторного сомножителя относительно суммы чисел[1])[5]:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Vector_distributive_law.svg/300px-Vector_distributive_law.svg.png)
1. Построим два треугольника (см.рисунок справа)[8][5]:
- треугольник со сторонами , и ;
- треугольник со сторонами и .
Эти треугольники подобны, поскольку у этих треугольников стороны , и , Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle Q'R'} [8][5]:
- соответственно параллельны;
- соответственно пропорциональны:
- .
Следовательно, третьи стороны треугольников также параллельны и их отношение также равно , то есть первый закон распределительности доказан[9][5]:
- .
Рисунок справа сделан для положительного . При отрицательном направления всех трёх сторон треугольника меняются на противоположные и доказательство остаётся справедливым[10].
2. Рассмотрим два случая, определяемые знаком суммы чисел [10]:
- . Тогда векторы
- и
- сонаправлены и их модули равны, поскольку
- ,
- ,
- то есть в этом случае второй закон распределительности доказан:
- ;
- . Тогда , и по доказанному в первом случае
- .
- После умножения обеих частей последнего равенства на получаем:
- ,
- то есть и во втором случае второй закон распределительности доказан.
Доказанная формула закона распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов
- ;
верна и для нескольких векторов[5]:
- .
Деление векторов
[править | править код]Деление вектора на число
[править | править код]Деление вектора на число (англ. scalar division of a vector) — первая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — частное вектора и этого число, другими словами, по произведению вектора на число и этому числу определяется вектор-сомножитель. При этом частное — это второй вектор такой, что [11].
Частное вектора и числа определяется умножением вектора на обратное число[10][11]:
- .
Деление вектора на вектор
[править | править код]Рассмотрим другую взаимную связь коллинеарных векторов. Деление вектора на вектор (англ. vector division), причём второй вектор ненулевой, — вторая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие двум коллинеарным векторам, причём второй вектор ненулевой, число — частное, или отношение[12], двух коллинеарных векторов, другими словами, по произведению ненулевого вектора на число и второму коллинеарному вектору определяется число-сомножитель. При этом частное — это число такое, что [13].
Частное, или отношение двух коллинеарных векторов и , причём второй вектор ненулевой, вычисляется следующим образом[13][14]:
- ;
- , если векторы и сонаправлены, , если векторы и противоположно направлены, и , если .
Частное равных векторов равно 1. Два вектора взаимно противоположны, если их частное равно –1, и их можно обозначить и . Частное нулевого вектора и любого другого ненулевого равно нулю. Частное любого вектора и нулевого не определено[14]. Если , то [15].
Для любых трёх векторов , и , причём векторы и ненулевые, выполняется следующее равенство[16][15]:
- .
Деление вектора на вектор используется при разложении вектора в одномерном случае.
Разложение вектора
[править | править код]Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия, которые рассматриваются в следующих трёх разделах[5].
Одномерный случай
[править | править код]Векторы Если векторы и связаны соотношением
- ,
то они коллинеарны. Обратное утверждение также справедливо, как показывает следующая теорема[17].
Теорема 4. Разложение вектора по одному коллинеарному вектору. Любой вектор можно единственным образом выразить через коллинеарный вектор по следующей формуле[17][18]:
- ,
где — число, которые вычисляется так, как показано в предыдущем разделе Деление векторов.
На рисунке справа:
- частное синих векторов и чёрного вектора равны 2 и 0,5;
- частные красных векторов и чёрного вектора равны –1 и –0,4.
Особенно важен частный случай равенства единице модуля одного из коллинеарных векторов, то есть когда этот вектор является единичным вектором, или ортом. Орт вектора обозначают или [17][19].
Орт вектора называется также направлением вектора[17].
Теорема 5. Любой вектор равен произведению его орта на его модуль, другими словами, умножение орта вектора на его модуль даёт сам вектор[19][17]:
- .
Эта формула замечательна тем, что в ней два элемента, которые характеризуют вектор, разделены[17]:
- модуль вектора ;
- направление вектора .
Двумерный случай
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/2D_vector_decomposition.svg/300px-2D_vector_decomposition.svg.png)
Если два вектора и не коллинеарны, то третий вектор — сумма векторов
будет всегда параллелен плоскости, которую определяют векторы и , то есть эти три вектора компланарны, так как геометрическая сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той же плоскости. Обратное утверждение также справедливо, как показывает следующая теорема[17].
Теорема 6. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, если все три вектора компланарны. Любой вектор можно единственным образом выразить через неколлинеарные и ненулевые векторы и , которые компланарны исходному вектору , по следующей формуле[17]:
- .
Отложим все три компланарных вектора , и от одной и той же точки (см. рисунок справа вверху). Через конец вектора проведём прямые и , параллельные соответственно векторам и , то есть соответственно прямым и . Тогда вектор окажется геометрической суммой двух векторов и , коллинеарных соответственно векторам и . В итоге получим искомое разложение вектора по векторам и [17].
Докажем от противного, что это разложение единственное. Пусть имеется два разных разложения
- ,
- ,
тогда после вычитания этих равенств получим:
- ,
откуда
- ,
то есть
- ,
а это противоречит тому, что два исходных разложения разные[20].
А если, например, , то тогда из уравнения
следует равенство
- ,
то есть либо векторы и коллинеарны, либо , что противоречит условию[21].
Трёхмерный случай
[править | править код]Теорема 7. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор трёхмерного пространства можно единственным образом выразить через некомпланарные и ненулевые векторы , и по следующей формуле[21][22]:
- .
Числовые коэффициенты , и называются координатами вектора относительно векторов , и [23].
Приведём два разных доказательства.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/3D_vector_decomposition_version_1.svg/300px-3D_vector_decomposition_version_1.svg.png)
Первое доказательство. Используется правило параллелепипеда сложения векторов. Отложим все четыре , , и от одной и той же точки (см. рисунок справа). Через конец вектора проведём три плоскости, которые параллельны граням трёхгранного угла, который образован тремя некомпланарными векторами , и . Тогда вектор окажется геометрической суммой трёх векторов , и , коллинеарных соответственно векторам , и . В итоге получим искомое разложение вектора по векторам , и [21].
Докажем от противного, что это разложение единственное. Пусть имеется два разных разложения
- .
- .
тогда после вычитания этих равенств получим:
- ,
откуда
- ,
то есть
- ,
а это противоречит тому, что два исходных разложения разные[21].
А если, например, , то тогда из уравнения
следует равенство
- ,
то есть либо векторы , и компланарны, либо , что противоречит условию[21].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/3D_vector_decomposition_version_2.svg/300px-3D_vector_decomposition_version_2.svg.png)
Второе доказательство. Используется правило многоугольника сложения векторов. Отложим все четыре , , и от одной и той же точки (см. рисунок справа). Через конец вектора проведём прямую, которая параллельна вектору и которая пересекается с плоскостью векторов и в точке . Через точку проведём ещё одну прямую, которая параллельна вектору и которая пересекается с прямой вектора в точке . Получаем, что
- ,
но векторы , и коллинеарны соответственно векторам , и , следовательно,
- , и ,
откуда
- ,
что и требовалось получить[24].
Пусть имеется два разложения
- .
- .
тогда после вычитания этих равенств получим:
- ,
но поскольку векторы , и некомпланарны по условию, то
- ,
то есть
- ,
следовательно, оба разложения совпадают между собой[22].
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 Умножение вектора на число, 1984.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 23.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 633.
- ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 22.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Кочин Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 11.
- ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 22—23.
- ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 23—24.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 24.
- ↑ 1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 24—25.
- ↑ 1 2 3 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 25.
- ↑ 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 89. Умножение и деление вектора на число, с. 123.
- ↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава II. Координаты на прямой. § 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение, с. 18.
- ↑ 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 89. Умножение и деление вектора на число, с. 124.
- ↑ 1 2 Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава II. Координаты на прямой. § 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение, с. 19.
- ↑ 1 2 Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава I. Векторное исчисление. § 2. Векторы на прямой. 3. Отношение векторов на прямой;, с. 27.
- ↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава II. Координаты на прямой. § 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение, с. 20.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Кочин Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 12.
- ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 27.
- ↑ 1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 26.
- ↑ 1 2 Кочин Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 12—13.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Кочин Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 13.
- ↑ 1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 30.
- ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 31.
- ↑ 1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 29—30.
Источники
[править | править код]- Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко. 2-е изд. М.: Наука, 1968. 912 с., ил.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
- Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
- Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
- Постников М. М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973. 751 с., ил.
- Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
- Умножение вектора на число // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 462.