Дифференциальная геометрия

Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.

История

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.

Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии

• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Риманова геометрия
• Симплектическая топология
• Теория поверхностей
• Финслерова геометрия

Литература

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:

• Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.: ИЛ, 1949 (djvu)
• Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии, МГУ (pdf)
• Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1970 (pdf)
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. М.: МЦНМО, 2008 (pdf)
• Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970 (djvu)
• Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология, МГУ (pdf)
• Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. М.: МГУ, 1961 (djvu)
• Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. М.-Л.: ОНТИ, 1937 (djvu)
• Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии, - БашГУ, Уфа, 1996.