Дифференциальная геометрия: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Bezik (обсуждение | вклад) м откат правок 83.219.138.156 (обс) к версии Bezik |
||
Строка 4: | Строка 4: | ||
Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. |
Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. |
||
В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на [[многообразие|многообразиях]], что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, |
В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на [[многообразие|многообразиях]], что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, |
||
тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как [[кривизна]]), которые могут различаться в точках |
тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как [[кривизна]]), которые могут различаться в точках. |
||
== История == |
== История == |
Версия от 19:04, 27 апреля 2014
Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.
История
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.
Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии
- Дифференциальная геометрия кривых
- Дифференциальная геометрия поверхностей
- Риманова геометрия
- Симплектическая топология
- Теория поверхностей
- Финслерова геометрия
Литература
Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:
- Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии / Пер. с англ. М. Г. Фрейдиной. — М.: ИЛ, 1949. — 230 с.
- Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: МГУ, 2001. — 54 с.
- Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1970. — 380 с.
- Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия / Пер. с англ. Ю. А. Шуб-Сизоненко. — М.: ИЛ, 1960. — 128 с.
- Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-ое изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е изд. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 428 с.
- Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1971. — 64 с.
- Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии / Пер. с англ. Д. В. Алексеевского. — М.: Мир, 1970. — 412 с.
- Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: МГУ, 2003. — 52 с.
- Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. — М.: МГУ, 1961. — 158 с.
- Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — 264 с.
Другие работы:
- Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. — М.: МЦНМО, 2008.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
В статье есть список источников, но не хватает сносок. |