Q
R
{\displaystyle QR}
-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы ) и верхнетреугольной матрицы . QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма .
Определение
Матрица
A
{\displaystyle A}
размера
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
с комплексными элементами может быть представлена в виде:
A
=
Q
R
,
{\displaystyle A=QR,}
где
Q
{\displaystyle Q}
— унитарная матрица размера
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
, а
R
{\displaystyle R}
— верхнетреугольная матрица размера
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
.
В частном случае, когда матрица
A
{\displaystyle A}
состоит из вещественных чисел ,
Q
{\displaystyle Q}
является ортогональной матрицей (то есть
Q
T
Q
=
I
{\displaystyle Q^{T}Q=I}
, где
I
{\displaystyle I}
— единичная матрица ).
По аналогии, можно определить варианты этого разложения:
Q
L
{\displaystyle QL}
-,
R
Q
{\displaystyle RQ}
-, и
L
Q
{\displaystyle LQ}
-разложения, где
L
{\displaystyle L}
— нижнетреугольная матрица .
Свойства
Если
A
{\displaystyle A}
— квадратная невырожденная матрица , то существует единственное
Q
R
{\displaystyle QR}
-разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы
R
{\displaystyle R}
должны быть положительными вещественными числами.
Алгоритмы
Q
R
{\displaystyle QR}
-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта . На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта , поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.
Альтернативные алгоритмы для вычисления
Q
R
{\displaystyle QR}
-разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса .
Пример QR-разложения
Рассмотрим матрицу :
A
=
{\displaystyle {\mathsf {\mathrm {A} }}=}
(
1
2
4
3
3
2
4
1
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}}
Через
a
1
,
a
2
,
a
3
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}
обозначим векторы-столбцы заданной матрицы
A
.
{\displaystyle {\mathsf {\mathrm {A} }}.}
Получаем следующий набор векторов:
a
1
=
(
1
3
4
)
,
{\displaystyle a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}},}
a
2
=
(
2
3
1
)
,
{\displaystyle a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}},}
a
3
=
(
4
2
3
)
{\displaystyle a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}}
Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:
e
1
=
(
26
26
3
26
26
4
26
26
)
,
{\displaystyle e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},}
e
2
=
(
37
3614
3614
33
3614
3614
−
34
3614
3614
)
,
{\displaystyle e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}\\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},}
e
3
=
(
9
139
139
−
7
139
139
3
139
139
)
{\displaystyle e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}}
Из полученных векторов
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
составляем по столбцам матрицу Q из разложения:
Q
=
(
26
26
37
3614
3614
9
139
139
3
26
26
33
3614
3614
−
7
139
139
4
26
26
−
34
3614
3614
3
139
139
)
.
{\displaystyle Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.}
Полученная матрица является ортогональной , это означает, что
Q
−
1
=
Q
T
.
{\displaystyle Q^{-1}=Q^{T}.}
Найдем матрицу
R
{\displaystyle R}
из выражения
R
=
Q
−
1
A
=
Q
T
A
{\displaystyle R=Q^{-1}A=Q^{T}A}
:
R
=
(
26
3
2
13
+
9
26
11
2
13
0
20
2
1807
+
99
3614
56
2
1807
0
0
31
139
)
{\displaystyle R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{\sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt {\frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}}
– искомая верхнетреугольная матрица .
Получили разложение
A
=
Q
R
.
{\displaystyle A=QR.}
Векторы и матрицы
Векторы
Основные понятия Виды векторов Операции над векторами Типы пространств
Матрицы
Другое