Постоянная Гаусса(обозначение — G) — математическая константа определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от пары чисел, а именно, от единицы и квадратного корня из 2:
(последовательность A014549 в OEIS)
Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799[1] году обнаружил, что
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce994f6c6a794b21fa039db0523babea96a7997)
чтобы
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0dbaabc5cc71a9414a438feeb0718886cd7fe3)
где Β обозначает бета-функцию.
Связь с другими константами
Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе
:
![{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2f8c469d2cee4f6488dadae0a6a113a53948d9)
В качестве альтернативы,
![{\displaystyle G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c330c8a632831ec29567cf3dd859e99782fbee)
а поскольку
и
алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.
Константы лемнискаты
Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.
Гаусс и другие используют[2][3] эквивалент
![{\displaystyle \varpi =\pi G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e9ae389973d30ff1d635ce0861844d71a57314)
которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.
Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа
и
называются константами лемнискаты, первая из которых
![{\displaystyle A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4f42242ab6b37884282c68b97c5994a4ec2966)
и вторая константа:
![{\displaystyle B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803117649416c8d6f63a79e907a5f60f1bfc39e0)
Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты.
и
Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.[4]
Другие формулы
Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:
![{\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd71a6bc11ce6c4c3abc86defc3ca0267f948e8)
Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:
![{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa19577531f9b3da22813ac592a0c28c2145114e)
Константу также можно выразить бесконечным произведением
![{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4dc860185a3a258ad7ccf8f2a515fb0c48ec9e)
Эта константа появляется при оценке интегралов
![{\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b415516baabb8c701b252823f99e07b90cbe38)
![{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d527f41369d6713c0a332fa194e728b66d68a047)
Представление константы в виде непрерывной дроби:
(последовательность A053002 в OEIS)
Примечания
- ↑ Nielsen, Mikkel Slot. Undergraduate convexity : problems and solutions. — July 2016. — P. 162. — ISBN 9789813146211.
- ↑ Kobayashi, Hiroyuki; Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters, arXiv:1903.07407
- ↑ Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1, arXiv:0707.3711
- ↑ Todd, John The lemniscate constants (неопр.). ACM DL (1975).
Источники