Лемниската Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лемниската и её фокусы

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

История[править | править вики-текст]

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения[править | править вики-текст]

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:


Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.


Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.


Свойства[править | править вики-текст]

Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы ;
3. Для любой точки лемнискаты выполняется: , где  — биссектриса ;
4. для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при , синусоидальной спирали с индексом и лемнискаты Бута при , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини[править | править вики-текст]

  • Лемниската — кривая четвёртого порядка.
  • Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
  • Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
  • Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
  • Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей[править | править вики-текст]

  • Касательные в двойной точке составляют с отрезком углы .
  • Угол , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен .
  • Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
  • Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
  • Радиус кривизны лемнискаты есть

Собственные свойства[править | править вики-текст]

Гравитационное свойство лемнискаты
  • Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
  • Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
  • Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
  • Площадь полярного сектора , при :
    • В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной .
  • Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
  • Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом I рода:
    где
    • В частности, длина всей лемнискаты

Построения[править | править вики-текст]

При помощи секущих (способ Маклорена)[править | править вики-текст]

Строится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины фокусного отрезка строится произвольная секущая ( и  — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки и , равные хорде . Точки , лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы[править | править вики-текст]

Вариант первый[править | править вики-текст]

На плоскости выбираются две точки — и  — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — и ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй[править | править вики-текст]

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — и соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок соединяется не с концом центрального , а с его серединой. Пропорции также другие: .

При помощи сплайна NURBS[править | править вики-текст]

Пример построения лемнискаты Бернулли с помощью сплайна NURBS.
Синяя линия – контрольная ломаная сплайна. Зеленые кружки – контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зеленые числа рядом с контрольными точками – порядковые номера точек в контрольной ломаной.

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

1 2 0 2
2 2 1 1
3 0 1 1
4 0 −1 1
5 −2 −1 1
6 −2 0 2
7 −2 1 1
8 0 1 1
9 0 −1 1
10 2 −1 1
11 2 0 2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]