Формула Герона: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) -переструктуризация, оформление, упрощения, чуть больше в преамбулу, rev |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Фо́рмула Герона''' |
'''Фо́рмула Герона''' — формула для вычисления [[площадь (геометрия)|площадь]] [[треугольник]]а <math>S</math> по длинам его сторон <math>a, b, c</math>: |
||
: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} |
: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>, |
||
где <math>p</math> — [[периметр|полупериметр]] треугольника: <math>p = \frac{a + b + c}2</math>. |
где <math>p</math> — [[периметр|полупериметр]] треугольника: <math>p = \frac{a + b + c}2</math>. |
||
⚫ | Формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё [[Архимед]]у). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название [[Геронов треугольник|героновых]], простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]]. |
||
{{Hider| |
{{Hider| |
||
Строка 60: | Строка 62: | ||
</math> |
</math> |
||
[[ч.т.д.]]}} |
[[ч.т.д.]]}} |
||
== История == |
|||
⚫ | |||
== Вариации == |
== Вариации == |
||
Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона: |
|||
: |
: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math> |
||
: |
: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math> |
||
: |
: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math> |
||
: |
: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math> |
||
Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref> Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron’s Formula.] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. </ref>: |
|||
: <math>-16 S^2 = \begin{vmatrix} |
|||
0 & a^2 & b^2 & 1 \\ |
0 & a^2 & b^2 & 1 \\ |
||
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ |
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ |
||
Строка 85: | Строка 84: | ||
\end{vmatrix} |
\end{vmatrix} |
||
</math> |
</math> |
||
Первый определитель последней формулы является частным случаем {{iw|определитель Кэли — Менгера|определителя Кэли — Менгера||Cayley-Menger determinant}} для вычисления гиперобъёма [[симплекс]]а. |
|||
Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math> и их полусумму <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math><ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « ''Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.</ref>: |
|||
===Аналоги формулы Герона=== |
|||
⚫ | |||
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника. |
|||
через длины высот <math>h_a</math>, <math>h_b</math> и <math>h_c</math> и полусумму их обратных величин <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>: |
|||
: <math> S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} </math>; |
|||
через углы треугольника <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math>, полусумму их синусов <math>s = (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)/2</math> и диаметр описанной окружности <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108—109.</ref>: |
|||
: |
: <math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math> |
||
:или в развернутом виде |
|||
::<math>S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}}</math> |
|||
* Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через {{nowrap|''s'' {{=}} [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2}}, тогда имеем <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.</ref> |
|||
⚫ | |||
Здесь через ''D'' обозначен диаметр описанной окружности треугольника: <math>D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.</math> |
|||
⚫ | |||
== Обобщения == |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель<ref>Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>: |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
: где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — '''полупериметр''' четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при ''d''=0) |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
a & b & c & -d \\ |
a & b & c & -d \\ |
||
b & a & -d & c \\ |
b & a & -d & c \\ |
||
Строка 110: | Строка 102: | ||
-d & c & b & a |
-d & c & b & a |
||
\end{vmatrix}} |
\end{vmatrix}} |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
*: <math>144 V^2 = l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) </math><math>+ l_2^2 l_6^2(l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) </math><math>+ l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) </math><math>- l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2</math>. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
: где |
|||
⚫ | |||
⚫ | \begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) |
||
</math> |
</math> |
||
⚫ | |||
== Для сферического треугольника == |
|||
: <math>\begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\ |
|||
⚫ | |||
+ & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\ |
|||
⚫ | |||
+ & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\ |
|||
- & l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2 |
|||
\end{align}</math>. |
|||
⚫ | Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>, <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math> являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро <math>u</math> противоположно ребру <math>U</math> и так далее), тогда справедливы формулы<ref>W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf], pp. 16-17.</ref><ref> Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>: |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
где: |
|||
⚫ | |||
⚫ | \begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) \end{align} |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
== См. также == |
|||
⚫ | |||
* [[Теорема котангенсов]] |
|||
где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр. |
|||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания}} |
{{примечания}} |
||
==Литература== |
== Литература == |
||
*§258 в {{cite arXiv|author=А. П. Киселёв|eprint=1806.06942 |class=math.HO |title=Геометрия по Киселёву|version=v3}} |
* § 258 в {{cite arXiv|author=А. П. Киселёв|eprint=1806.06942 |class=math.HO |title=Геометрия по Киселёву|version=v3}} |
||
*{{статья |автор= Николаев Н.|заглавие= О площади треугольника|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/10803/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 108|страницы= 227—228}} |
* {{статья |автор= Николаев Н.|заглавие= О площади треугольника|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/10803/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 108|страницы= 227—228}} |
||
*{{статья |
* {{статья |
||
|заглавие=A Simpler Proof of Heron's Formula |
|заглавие=A Simpler Proof of Heron's Formula |
||
|издание=[[Mathematics Magazine]] |
|издание=[[Mathematics Magazine]] |
||
Строка 142: | Строка 137: | ||
|автор=Raifaizen, Claude H. |
|автор=Raifaizen, Claude H. |
||
|год=1971 |
|год=1971 |
||
|тип=magazine}} |
|тип=magazine}} — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора |
||
{{Треугольник}} |
{{Треугольник}} |
Версия от 14:27, 25 февраля 2020
Фо́рмула Герона — формула для вычисления площадь треугольника по длинам его сторон :
- ,
где — полупериметр треугольника: .
Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
- ,
где — угол треугольника, противолежащий стороне . По теореме косинусов:
Отсюда:
Значит,
- .
Замечая, что , , , , получаем:
Таким образом,
По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:
Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:
Замечая, что , , , , получаем:
Используя основное равенство для площади треугольника и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:
Вариации
Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера[англ.] для вычисления гиперобъёма симплекса.
Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан , и и их полусумму [2]:
- ;
через длины высот , и и полусумму их обратных величин [3]:
- ;
через углы треугольника , и , полусумму их синусов и диаметр описанной окружности [4]:
Сходные формулы возможны и для более сложных фигур, например площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
- ,
где — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель[5]:
Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма верно выражение:
- .
Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если , , , , , являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро противоположно ребру и так далее), тогда справедливы формулы[6][7]:
где:
- .
По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны как:
- ,
где — полупериметр.
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
- ↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
- ↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.
- ↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
Литература
- § 258 в А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO].
{{cite arXiv}}
: Неизвестный параметр|version=
игнорируется (справка) - Николаев Н. О площади треугольника // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
- Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора