Дифференциальная геометрия

Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.

История

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.

Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии

• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Дифференциальная геометрия многообразий
• Риманова геометрия
• Симплектическая топология
• Теория поверхностей
• Финслерова геометрия

Литература

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: МГУ, 1980. — 439 с.

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:

• Веблен О., Уайтхед Дж. (Veblen O., Whitehead J.H.C.). Основания дифференциальной геометрии (The Foundation of Differential Geometry.- Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1932.) / Пер. с англ. М. Г. Фрейдиной. — М.: ИЛ, 1949. — 230 с.
• Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: МГУ, 2001. — 54 с.
• Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1970. — 380 с.
• Номидзу К. (Nomizu K.). Группы Ли и дифференциальная геометрия (Lie Groups and Differential Geometry.- Publ. Math. Soc. Japan, 1956, 2.) / Пер. с англ. Ю. А. Шуб-Сизоненко. — М.: ИЛ, 1960. — 128 с.
• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-ое изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е изд. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 428 с.
• Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1971. — 64 с.
• Стернберг С. (Sternberg S.). Лекции по дифференциальной геометрии (Lectures on Differential Geometry.- Englewood Cliffs (New Jersey): Prentice-Hall, 1964.) / Пер. с англ. Д. В. Алексеевского. — М.: Мир, 1970. — 412 с.
• Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: МГУ, 2003. — 52 с.
• Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. — М.: МГУ, 1961. — 158 с.
• Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — 264 с.

Другие работы:

• Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. — М.: МЦНМО, 2008.