Интеграл Даниеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.

В сравнении с интегралом Лебега, интеграл Даниеля не требует предварительной разработки подходящей теории меры, за счёт чего имеет определённые преимущества, особенно в функциональном анализе при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса). Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу, тогда как интеграл Даниеля строится в этих случаях относительно просто.

Предложен английским математиком Перси Джоном Даниелем (англ. Percy John Daniell) в 1918 году[1].

Определение[править | править вики-текст]

Основная идея состоит в обобщении понятия интеграла, исходя о представлении о нём как о функционале. Рассмотрим семейство H ограниченных вещественнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на пространстве X, удовлетворяющее следующим аксиомам:

  1. Если f_{1}, f_{2} \in H, то f_{1} + f_{2} \in H.
  2. Если f \in H, то cf \in H, где c — действительное число.
  3. Если f_{1}, f_{2} \in H, то \max(f_{1}, f_{2}) \in H и \min(f_{1}, f_{2}) \in H.

На классе H задан функционал U(f), обладающий следующими свойствами:

  1. U(f_{1} + f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2}).
  2. U(cf)=cU(f).
  3. Если f_{1} \geqslant f_{2} \geqslant f_{3} \geqslant ... и \lim_{n \to \infty}f_{n}=0, то \lim_{n \to \infty}U(f_{n})=0 (свойство Лебега).
  4. U(f) \geqslant 0, если f \geqslant 0[2]

В этих терминах можно определить множества меры нуль. Множество Z, являющееся подмножеством X, имеет меру нуль, если для любого \varepsilon>0 существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций h_p(x)\in H такая, что Ih_p<\varepsilon и \sup_p h_p(x)\geqslant 1 на Z.

Если некоторое условие выполняется на X везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество L^+, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей \{h_n\} элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов Ih_n ограничено. Интеграл функции f\in L^+ по определению равен:

If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности \{h_n\}.

Свойства[править | править вики-текст]

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля[править | править вики-текст]

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию \chi(x) некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Daniell P. J. A General Form of Integral // Annals of Mathematics. — 1918. — Т. 19. — № 4. — С. 279–294. — ISSN 0003-486X.
  2. Развитие понятия интеграла, 1966, с. 190

Литература[править | править вики-текст]

  • Daniell, P. J., 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
  • Daniell, P. J., 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
  • Daniell, P. J., 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
  • Daniell, P. J., 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
  • Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
  • Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1966. — 202 с.
  • Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера, производная. — М.: Наука, 1967.