Интеграл Даниеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса).

Определение[править | править вики-текст]

Основная идея состоит в обобщении понятия интеграла, исходя о представлении о нем, как о функционале. Рассмотрим семейство H ограниченных действительнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на пространстве X, удовлетворяющее следующим аксиомам:

  1. Если f_{1}, f_{2} \in H, то f_{1} + f_{2} \in H.
  2. Если f \in H, то cf \in H, где c - действительное число.
  3. Если f_{1}, f_{2} \in H, то \max(f_{1}, f_{2}) \in H и \min(f_{1}, f_{2}) \in H.

На классе H задан функционал U(f), обладающий следующими свойствами:

  1. U(f_{1} + f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2}).
  2. U(cf)=cU(f).
  3. Если f_{1} \geqslant f_{2} \geqslant f_{3} \geqslant ... и \lim_{n \to \infty}f_{n}=0, то \lim_{n \to \infty}U(f_{n})=0 (свойство Лебега).
  4. U(f) \geqslant 0, если f \geqslant 0[1]

В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество Z, являющееся подмножеством X, имеет меру ноль, если для любого \varepsilon>0 существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций h_p(x)\in H такая, что Ih_p<\varepsilon и \sup_p h_p(x)\geqslant 1 на Z.

Если некоторое условие выполняется на X везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество L^+, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей \{h_n\} элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов Ih_n ограничено. Интеграл функции f\in L^+ по определению равен:

If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности \{h_n\}.

Свойства[править | править вики-текст]

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Рисса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля[править | править вики-текст]

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию \chi(x) некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

Преимущества перед классическими определениями[править | править вики-текст]

Такое построение обобщённого интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Даниелю интеграл строится более просто.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Daniell, Percy John, 1918, «A general form of integral», Annals of Mathematics 19:: 279-94.
  • ------, 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
  • ------, 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
  • ------, 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
  • ------, 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
  • Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1966. — 202 с.