Интеграл Даниеля

Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса).

Определение

Основная идея состоит в аксиоматизации понятия интеграла. Рассмотрим семейство $H$ ограниченных действительнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на множестве $X$, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $H$ — линейное пространство с обычными операциями сложения и умножения на скаляр.
2. $h(x)\in H\Rightarrow|h(x)|\in H.$

Кроме того, на пространстве элементарных функций определяется положительно определённый непрерывный линейный функционал $I$, называемый элементарный интеграл.

В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество $Z$, являющееся подмножеством $X$, имеет меру ноль, если для любого $\varepsilon>0$ существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций $h_p(x)\in H$ такая, что $Ih_p<\varepsilon$ и $\sup_p h_p(x)\geqslant 1$ на $Z$.

Если некоторое условие выполняется на $X$ везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество $L^+$, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей $\{h_n\}$ элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов $Ih_n$ ограничено. Интеграл функции $f\in L^+$ по определению равен:

$If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.$

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности $\{h_n\}$.

Свойства

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Рисса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию $\chi(x)$ некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

Преимущества перед классическими определениями

Такое построение обобщённого интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Даниелю интеграл строится более просто.

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана
• Интеграл Лебега — Стилтьеса

Ссылки

• Daniell, Percy John, 1918, «A general form of integral», Annals of Mathematics 19:: 279-94.
• ------, 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
• ------, 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
• ------, 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
• ------, 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
• Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.