Многомерное нормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.

Определения[править | править вики-текст]

Случайный вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}.
  • Существует вектор \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n и неотрицательно определённая симметричная матрица \mathbf{\Sigma} размерности n \times n, такие что характеристическая функция вектора \mathbf{X} имеет вид:
\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n.

Плотность невырожденного нормального распределения[править | править вики-текст]

  • Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:
Существует вектор \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n и неотрицательно определённая симметричная матрица \mathbf{\Sigma} размерности n \times n, такие что плотность вероятности вектора \mathbf{X} имеет вид:
f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} \vert \Sigma \vert^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n,
где \vert \Sigma\vert определитель матрицы \Sigma, а \Sigma^{-1} — матрица обратная к \Sigma


  • Вектор \mathbf{\mu} является вектором средних значений \mathbf{X}, а \Sigma — его ковариационная матрица.
  • В случае n = 1, многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
  • Если случайный вектор \mathbf{X} имеет многомерное нормальное распределение, то пишут \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma).

Свойства многомерного нормального распределения[править | править вики-текст]

  • Если вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты X_i, i=1,\ldots, n, имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример [1])!
  • Если случайные величины X_1,\ldots,X_n имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций \Sigma такого вектора диагональна.
  • Если \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если некоторые случайные величины X_i,\; i = 1 , \ldots, n имеют одномерные нормальные распределения и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы и имеют многомерное нормальное распределение.
Пример. Пусть X \sim \mathrm{N}(0,1), а \alpha = \pm 1 с равными вероятностями. Тогда если Y = \alpha X \sim \mathrm{N}(0,1), то корреляция X и Y равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы и в силу первого утверждения абзаца не имеют многомерного нормального распредедения.
  • Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma), а \mathbf{A} — произвольная матрица размерности m \times n, то
\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu},\mathbf{A}\Sigma \mathbf{A}^{\top}\right).
Таким преобразованием и сдвигом любое невырожденное нормальное распределение можно привести к вектору независимых стандартных нормальных величин.


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула