Распределение Стьюдента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Стьюдента
Плотность вероятности
Student densite best.JPG
Функция распределения
T distributionCDF.png
Обозначение \mathrm{t}(n)\!
Параметры n > 0\! — число степеней свободы
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{\Gamma((n+1)/2)} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)\,(1+x^2/n)^{(n+1)/2}}\!
Функция распределения \frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (n+1)/2 \right)}{\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)} \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(n+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)} где \,_2F_1 гипергеометрическая функция
Математическое ожидание 0\!, если n>1\!
Медиана 0\!
Мода 0\!
Дисперсия \frac{n}{n-2}, если n>2\!
Коэффициент асимметрии 0\!, если n>3\!
Коэффициент эксцесса \frac{6}{n-4}\!, если n>4\!
Информационная энтропия \begin{matrix}
         \frac{n+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+n}{2}) 
               - \psi(\frac{n}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Уильяма Сили Госсета, который первым опубликовал работы, посвящённые распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Определение[править | править вики-текст]

Пусть Y_0,Y_1,\ldots, Y_n — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что Y_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=0,\ldots, n. Тогда распределение случайной величины t\!, где

t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}},

называется распределением Стьюдента с n\! степенями свободы. Пишут t \sim \mathrm{t}(n)\!. Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi n} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}},

где \Gamma\! — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента[править | править вики-текст]

  • Распределение Стьюдента симметрично. В частности если t \sim \mathrm{t}(n)\!, то -t \sim \mathrm{t}(n)\!.

Моменты[править | править вики-текст]

Случайная величина t \sim \mathrm{t}(n)\! имеет только моменты порядков k < n\!, причём

\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0, если k\! нечётно;
\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})n^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} , если k\! чётно.

В частности,

\mathbb{E}[t] = 0,
\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}, если n > 2\! .

Моменты порядков k \ge n не определены.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента: \mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1) .
  • Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при n \to \infty. Пусть дана последовательность случайных величин \{t_n\}_{n=1}^{\infty}, где t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}. Тогда: t_n \to \mathrm{N}(0,1) по распределению при n \to \infty.
  • Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть t \sim \mathrm{t}(n). Тогда: t^2 \sim \mathrm{F}(1,n).

Применение распределения Стьюдента[править | править вики-текст]

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть X_1,\ldots, X_n независимые случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n. Обозначим \bar{X} выборочное среднее этой выборки, а S^2 её выборочную дисперсию. Тогда

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1).

Процентили[править | править вики-текст]

Таблицы значений[править | править вики-текст]

Таблица значений функций распределения Стьюдента

Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула