Бета-распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бета-распределение
Плотность вероятности
Probability density function for the Beta distribution
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Beta distribution
Обозначение \text{Be}(\alpha,\beta)
Параметры \alpha > 0
\beta > 0
Носитель x \in [0, 1]\!
Плотность вероятности \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Функция распределения I_x(\alpha,\beta)\!
Математическое ожидание \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Медиана
Мода \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! для \alpha>1, \beta>1
Дисперсия \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Коэффициент эксцесса 6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Характеристическая функция {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности f_X, имеющей вид:

f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1},

где

Тогда случайная величина X имеет бета-распределение. Пишут: X\!\sim \mathrm{B}(\alpha,\beta).

Форма графика[править | править вики-текст]

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров \alpha и \beta.

В случае, когда \alpha = \beta, плотность вероятности симметрична относительно 1/2 (красная и пурпурная кривые), то есть

f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2].

Моменты[править | править вики-текст]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей бета-распределение, имеют вид:

\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} ,
\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула