Шар

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Шар (стереометрия)»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Шар
Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения[править | править код]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[править | править код]

Площадь поверхности и объём шара радиуса (и диаметром ) определяются формулами:

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения[править | править код]

Пусть дано метрическое пространство . Тогда

  • Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом называется множество
  • Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество

Замечания[править | править код]

Шар радиуса с центром также называют -окрестностью точки .

Свойства[править | править код]

Объём[править | править код]

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле нецелых действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

,
.

В формуле для пространства с нечётным количеством размерностей двойной факториал (2k + 1)!! определён для нечётных чисел 2k + 1 в виде произведения: (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · … · (2k − 1) · (2k + 1).

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

,
.

Рекурсия[править | править код]

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

.

То же без гамма-функции:

Пространства младших размерностей[править | править код]

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Пространства старших размерностей[править | править код]

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры[править | править код]

  • если (пространство — прямая), то
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
  • если (пространство — плоскость), то
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если , то
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:
Тогда
  • если , то  — это открытый квадрат с центром в точке и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если , то  — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Литература[править | править код]

Ссылки на онлайн калькуляторы[править | править код]