Однородный многогранник

Однородный многогранник — многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками, и он вершинно транзитивен (транзитивен относительно вершин, а также изогонален, то есть имеется движение, переводящее вершину в любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны, и многогранник имеет высокую степень зеркальной и вращательной симметрии.

Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с гранями в виде выпуклых правильных многоугольников и звёздчатые формы. Звёздчатые формы имеют грани в виде правильных звёздчатых многоугольников, вершинных фигур или обоих видов вместе.

Список включает:

• все 75 непризматических однородных многогранников;
• некоторых представителей бесконечного множества призм и антипризм;
• один специальный случай, многогранник Скиллинга с пересекающимися рёбрами.

В 1970-м году советским ученым Соповым доказано, что существует только 75 однородных многогранников, не входящих в бесконечные серии призм и антипризм. Джон Скиллинг (John Skilling) открыл ещё один многогранник, ослабив условие, что ребро может принадлежать только двум граням. Некоторые авторы не считают этот многогранник однородным, поскольку некоторые пары рёбер совпадают.

Не включены:

• 40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными вершинными фигурами, имеющих пересекающиеся рёбра (не перечислены Коксетером);
• Однородные мозаики (бесконечные многогранники)
  • 11 евклидовых однородных мозаик с выпуклыми гранями
  • 14 евклидовых однородных мозаик с невыпуклыми гранями
  • Бесконечное число однородных мозаик на гиперболической плоскости.

Нумерация

Используются четыре схемы нумерации однородных многогранников, различающихся буквами:

• [C] Коксетер с соавторами (1954). Список содержит выпуклые виды с номерами от 15 до 32, три призматических вида (номера 33—35) и невыпуклые виды (номера 36—92).
• [W] Веннинджер (1974). Список содержит 119 фигур: номера 1—5 для платоновых тел, 6—18 для архимедовых тел, 19—66 для звёздчатых видов, включая 4 правильных невыпуклых многогранника и 67—119 для невыпуклых однородных многогранников.
• [K] Kaleido (программа, 1993). Список содержит 80 фигур, номера сгруппированы по симметрии: 1—5 представляют бесконечные серии призматических форм с диэдральной симметрией, 6—9 с тетраэдральной симметрией, 10—26 с октаэдральной симметрией, 46—80 с икосаэдральной симметрией.
• [U] Mathematica (программа, 1993). В программе, в общем, используется та же нумерации, что и в программе Kaleido, только первые 5 призматических вида перенесены в конец списка, так что непризматические виды получили номера 1—75.

Список многогранников

Выпуклые формы перечислены в порядке степени вершинных конфигураций от 3 граней/вершин и далее, и по увеличению сторон у грани. Это упорядочение позволяет показать топологическую схожесть.

Выпуклые однородные многогранники

Название	Рисунок	Тип вершинной конфигурации	Символ Витхоффа	Симм.	C#	W#	U#	K#	Вер- шин	Рё- бер	Гра- ней	$\chi$	Плот- ность	Граней по типам
Тетраэдр		3.3.3	3 | 2 3	Td	C15	W001	U01	K06	4	6	4	2	1	4{3}
Треугольная призма		3.4.4	2 3 | 2	D3h	C33a	--	U76a	K01a	6	9	5	2	1	2{3} +3{4}
Усечённый тетраэдр		3.6.6	2 3 | 3	Td	C16	W006	U02	K07	12	18	8	2	1	4{3} +4{6}
Усечённый куб		3.8.8	2 3 | 4	Oh	C21	W008	U09	K14	24	36	14	2	1	8{3} +6{8}
Усечённый додекаэдр		3.10.10	2 3 | 5	Ih	C29	W010	U26	K31	60	90	32	2	1	20{3} +12{10}
Куб		4.4.4	3 | 2 4	Oh	C18	W003	U06	K11	8	12	6	2	1	6{4}
Пятиугольная призма		4.4.5	2 5 | 2	D5h	C33b	--	U76b	K01b	10	15	7	2	1	5{4} +2{5}
Шестиугольная призма		4.4.6	2 6 | 2	D6h	C33c	--	U76c	K01c	12	18	8	2	1	6{4} +2{6}
Восьмиугольная призма		4.4.8	2 8 | 2	D8h	C33e	--	U76e	K01e	16	24	10	2	1	8{4} +2{8}
Десятиугольная призма		4.4.10	2 10 | 2	D10h	C33g	--	U76g	K01g	20	30	12	2	1	10{4} +2{10}
Двенадцатиугольная призма		4.4.12	2 12 | 2	D12h	C33i	--	U76i	K01i	24	36	14	2	1	12{4} +2{12}
Усечённый октаэдр		4.6.6	2 4 | 3	Oh	C20	W007	U08	K13	24	36	14	2	1	6{4} +8{6}
Усечённый кубооктаэдр		4.6.8	2 3 4 |	Oh	C23	W015	U11	K16	48	72	26	2	1	12{4} +8{6} +6{8}
Ромбоусечённый икосододекаэдр		4.6.10	2 3 5 |	Ih	C31	W016	U28	K33	120	180	62	2	1	30{4} +20{6} +12{10}
Додекаэдр		5.5.5	3 | 2 5	Ih	C26	W005	U23	K28	20	30	12	2	1	12{5}
Усечённый икосаэдр		5.6.6	2 5 | 3	Ih	C27	W009	U25	K30	60	90	32	2	1	12{5} +20{6}
Октаэдр		3.3.3.3	4 | 2 3	Oh	C17	W002	U05	K10	6	12	8	2	1	8{3}
Квадратная антипризма		3.3.3.4	| 2 2 4	D4d	C34a	--	U77a	K02a	8	16	10	2	1	8{3} +2{4}
Пятиугольная антипризма		3.3.3.5	| 2 2 5	D5d	C34b	--	U77b	K02b	10	20	12	2	1	10{3} +2{5}
Шестиугольная антипризма		3.3.3.6	| 2 2 6	D6d	C34c	--	U77c	K02c	12	24	14	2	1	12{3} +2{6}
Восьмиугольная антипризма		3.3.3.8	| 2 2 8	D8d	C34e	--	U77e	K02e	16	32	18	2	1	16{3} +2{8}
Десятиугольная антипризма		3.3.3.10	| 2 2 10	D10d	C34g	--	U77g	K02g	20	40	22	2	1	20{3} +2{10}
Двенадцатиугольная антипризма		3.3.3.12	| 2 2 12	D12d	C34i	--	U77i	K02i	24	48	26	2	1	24{3} +2{12}
Кубооктаэдр		3.4.3.4	2 | 3 4	Oh	C19	W011	U07	K12	12	24	14	2	1	8{3} +6{4}
Ромбокубооктаэдр		3.4.4.4	3 4 | 2	Oh	C22	W013	U10	K15	24	48	26	2	1	8{3} +(6+12){4}
Ромбоикосододекаэдр		3.4.5.4	3 5 | 2	Ih	C30	W014	U27	K32	60	120	62	2	1	20{3} +30{4} +12{5}
Икосододекаэдр		3.5.3.5	2 | 3 5	Ih	C28	W012	U24	K29	30	60	32	2	1	20{3} +12{5}
Икосаэдр		3.3.3.3.3	5 | 2 3	Ih	C25	W004	U22	K27	12	30	20	2	1	20{3}
Плосконосый куб		3.3.3.3.4	| 2 3 4	O	C24	W017	U12	K17	24	60	38	2	1	(8+24){3} +6{4}
Плосконосый додекаэдр		3.3.3.3.5	| 2 3 5	I	C32	W018	U29	K34	60	150	92	2	1	(20+60){3} +12{5}

Однородные звёздчатые многогранники

Название	Рисунок	Символ Витхоффа	Тип вершинной конфигурации	Симм.	C#	W#	U#	K#	Вер- шин	Рё- бер	Гра- ней	$\chi$	Плот- ность	Граней по типам
Октагемиоктаэдр		3/2 3 | 3	6.3/2.6.3	Oh	C37	W068	U03	K08	12	24	12	0		8{3}+4{6}
Тетрагемигексаэдр		3/2 3 | 2	4.3/2.4.3	Td	C36	W067	U04	K09	6	12	7	1		4{3}+3{4}
Кубогемиоктаэдр		4/3 4 | 3	6.4/3.6.4	Oh	C51	W078	U15	K20	12	24	10	-2		6{4}+4{6}
Большой додекаэдр		5/2 | 2 5	(5.5.5.5.5)/2	Ih	C44	W021	U35	K40	12	30	12	-6	3	12{5}
Большой икосаэдр		5/2 | 2 3	(3.3.3.3.3)/2	Ih	C69	W041	U53	K58	12	30	20	2	7	20{3}
Большой битригональный икосододекаэдр		3/2 | 3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	Ih	C61	W087	U47	K52	20	60	32	-8	6	20{3}+12{5}
Малый ромбогексаэдр		2 4 (3/2 4/2) |	4.8.4/3.8	Oh	C60	W086	U18	K23	24	48	18	-6		12{4}+6{8}
Малый кубокубооктаэдр		3/2 4 | 4	8.3/2.8.4	Oh	C38	W069	U13	K18	24	48	20	-4	2	8{3}+6{4}+6{8}
Большой ромбокубооктаэдр		3/2 4 | 2	4.3/2.4.4	Oh	C59	W085	U17	K22	24	48	26	2	5	8{3}+(6+12){4}
Малый додеко- гемидодекаэдр		5/4 5 | 5	10.5/4.10.5	Ih	C65	W091	U51	K56	30	60	18	-12		12{5}+6{10}
Большой додеко- гемиикосаэдр		5/4 5 | 3	6.5/4.6.5	Ih	C81	W102	U65	K70	30	60	22	-8		12{5}+10{6}
Малый икосо- гемидодекаэдр		3/2 3 | 5	10.3/2.10.3	Ih	C63	W089	U49	K54	30	60	26	-4		20{3}+6{10}
Малый додекоикосаэдр		3 5 (3/2 5/4) |	10.6.10/9.6/5	Ih	C64	W090	U50	K55	60	120	32	-28		20{6}+12{10}
Малый ромбододекаэдр		2 5 (3/2 5/2) |	10.4.10/9.4/3	Ih	C46	W074	U39	K44	60	120	42	-18		30{4}+12{10}
Малый додеко- икосододекаэдр		3/2 5 | 5	10.3/2.10.5	Ih	C42	W072	U33	K38	60	120	44	-16	2	20{3}+12{5}+12{10}
Ромбоикосаэдр		2 3 (5/4 5/2) |	6.4.6/5.4/3	Ih	C72	W096	U56	K61	60	120	50	-10		30{4}+20{6}
Большой икосо- икосододекаэдр		3/2 5 | 3	6.3/2.6.5	Ih	C62	W088	U48	K53	60	120	52	-8	6	20{3}+12{5}+20{6}
Пентаграммная призма		2 5/2 | 2	5/2.4.4	D5h	C33b	--	U78a	K03a	10	15	7	2	2	5{4}+2{5/2}
Гептаграммная призма 7/2		2 7/2 | 2	7/2.4.4	D7h	C33d	--	U78b	K03b	14	21	9	2	2	7{4}+2{7/2}
Гептаграммная призма 7/3		2 7/3 | 2	7/3.4.4	D7h	C33d	--	U78c	K03c	14	21	9	2	3	7{4}+2{7/3}
Октаграммная призма		2 8/3 | 2	8/3.4.4	D8h	C33e	--	U78d	K03d	16	24	10	2	3	8{4}+2{8/3}
Пентаграммная антипризма		| 2 2 5/2	5/2.3.3.3	D5h	C34b	--	U79a	K04a	10	20	12	2	2	10{3}+2{5/2}
Пентаграммная скрещённая антипризма		| 2 2 5/3	5/3.3.3.3	D5d	C35a	--	U80a	K05a	10	20	12	2	3	10{3}+2{5/2}
Гептаграммная антипризма 7/2		| 2 2 7/2	7/2.3.3.3	D7h	C34d	--	U79b	K04b	14	28	16	2	3	14{3}+2{7/2}
Гептаграммная антипризма 7/3		| 2 2 7/3	7/3.3.3.3	D7d	C34d	--	U79c	K04c	14	28	16	2	3	14{3}+2{7/3}
Гептаграммная скрещённая антипризма		| 2 2 7/4	7/4.3.3.3	D7h	C35b	--	U80b	K05b	14	28	16	2	4	14{3}+2{7/3}
Октаграммная антипризма		| 2 2 8/3	8/3.3.3.3	D8d	C34e	--	U79d	K04d	16	32	18	2	3	16{3}+2{8/3}
Октаграммная скрещённая антипризма		| 2 2 8/5	8/5.3.3.3	D8d	C35c	--	U80c	K05c	16	32	18	2	5	16{3}+2{8/3}
Малый звёздчатый додекаэдр		5 | 2 5/2	(5/2)5	Ih	C43	W020	U34	K39	12	30	12	-6	3	12{5/2}
Большой звёздчатый додекаэдр		3 | 2 5/2	(5/2)3	Ih	C68	W022	U52	K57	20	30	12	2	7	12{5/2}
Битриагональный додекододекаэдр		3 | 5/3 5	(5/3.5)3	Ih	C53	W080	U41	K46	20	60	24	-16	4	12{5}+12{5/2}
Малый битриагональный икосододекаэдр		3 | 5/2 3	(5/2.3)3	Ih	C39	W070	U30	K35	20	60	32	-8	2	20{3}+12{5/2}
Звёздчатый усечённый гексаэдр		2 3 | 4/3	8/3.8/3.3	Oh	C66	W092	U19	K24	24	36	14	2	7	8{3}+6{8/3}
Большой ромбогексаэдр		2 4/3 (3/2 4/2) |	4.8/3.4/3.8/5	Oh	C82	W103	U21	K26	24	48	18	-6		12{4}+6{8/3}
Большой кубокубооктаэдр		3 4 | 4/3	8/3.3.8/3.4	Oh	C50	W077	U14	K19	24	48	20	-4	4	8{3}+6{4}+6{8/3}
Большой додеко- гемидодекаэдр		5/35/2 | 5/3	10/3.5/3.10/3.5/2	Ih	C86	W107	U70	K75	30	60	18	-12		12{5/2}+6{10/3}
Малый додеко- гемиикосаэдр		5/35/2 | 3	6.5/3.6.5/2	Ih	C78	W100	U62	K67	30	60	22	-8		12{5/2}+10{6}
Додекододекаэдр		2 | 5/2 5	(5/2.5)2	Ih	C45	W073	U36	K41	30	60	24	-6	3	12{5}+12{5/2}
Большой икосо- гемидодекаэдр		3/2 3 | 5/3	10/3.3/2.10/3.3	Ih	C85	W106	U71	K76	30	60	26	-4		20{3}+6{10/3}
Большой икосо- додекаэдр		2 | 5/2 3	(5/2.3)2	Ih	C70	W094	U54	K59	30	60	32	2	7	20{3}+12{5/2}
Кубоусечённый кубооктаэдр		4/3 3 4 |	8/3.6.8	Oh	C52	W079	U16	K21	48	72	20	-4	4	8{6}+6{8}+6{8/3}
Большой усечённый кубооктаэдр		4/3 2 3 |	8/3.4.6/5	Oh	C67	W093	U20	K25	48	72	26	2	1	12{4}+8{6}+6{8/3}
Усечённый большой додекаэдр		2 5/2 | 5	10.10.5/2	Ih	C47	W075	U37	K42	60	90	24	-6	3	12{5/2}+12{10}
Малый звёздчатый усечённый додекаэдр		2 5 | 5/3	10/3.10/3.5	Ih	C74	W097	U58	K63	60	90	24	-6	9	12{5}+12{10/3}
Большой звёздчатый усечённый додекаэдр		2 3 | 5/3	10/3.10/3.3	Ih	C83	W104	U66	K71	60	90	32	2	13	20{3}+12{10/3}
Усечённый большой икосаэдр		2 5/2 | 3	6.6.5/2	Ih	C71	W095	U55	K60	60	90	32	2	7	12{5/2}+20{6}
Большой додекоикосаэдр		3 5/3(3/2 5/2) |	6.10/3.6/5.10/7	Ih	C79	W101	U63	K68	60	120	32	-28		20{6}+12{10/3}
Большой ромбододекаэдр		2 5/3 (3/2 5/4) |	4.10/3.4/3.10/7	Ih	C89	W109	U73	K78	60	120	42	-18		30{4}+12{10/3}
Икосо- додекододекаэдр		5/3 5 | 3	6.5/3.6.5	Ih	C56	W083	U44	K49	60	120	44	-16	4	12{5}+12{5/2}+20{6}
Малый битриагональный додеко- икосододекаэдр		5/3 3 | 5	10.5/3.10.3	Ih	C55	W082	U43	K48	60	120	44	-16	4	20{3}+12{;5/2}+12{10}
Большой битриагональный додеко- икосододекаэдр		3 5 | 5/3	10/3.3.10/3.5	Ih	C54	W081	U42	K47	60	120	44	-16	4	20{3}+12{5}+12{10/3}
Большой додеко- икосододекаэдр		5/2 3 | 5/3	10/3.5/2.10/3.3	Ih	C77	W099	U61	K66	60	120	44	-16	10	20{3}+12{5/2}+12{10/3}
Малый икосо- икосододекаэдр		5/2 3 | 3	6.5/2.6.3	Ih	C40	W071	U31	K36	60	120	52	-8	2	20{3}+12{5/2}+20{6}
Ромбододеко- додекаэдр		5/2 5 | 2	4.5/2.4.5	Ih	C48	W076	U38	K43	60	120	54	-6	3	30{4}+12{5}+12{5/2}
Большой ромбоикосо- додекаэдр		5/3 3 | 2	4.5/3.4.3	Ih	C84	W105	U67	K72	60	120	62	2	13	20{3}+30{4}+12{5/2}
Икосоусечённый додекододекаэдр		5/3 3 5 |	10/3.6.10	Ih	C57	W084	U45	K50	120	180	44	-16	4	20{6}+12{10}+12{10/3}
Усечённый додекододекаэдр		5/3 2 5 |	10/3.4.10/9	Ih	C75	W098	U59	K64	120	180	54	-6	3	30{4}+12{10}+12{10/3}
Большой усечённый икосододекаэдр		5/3 2 3 |	10/3.4.6	Ih	C87	W108	U68	K73	120	180	62	2	13	30{4}+20{6}+12{10/3}
Плосконосый додекододекаэдр		| 2 5/2 5	3.3.5/2.3.5	I	C49	W111	U40	K45	60	150	84	-6	3	60{3}+12{5}+12{5/2}
Вывернутый плосконосый додекододекаэдр		| 5/3 2 5	35/3.3.3.5	I	C76	W114	U60	K65	60	150	84	-6	9	60{3}+12{5}+12{5/2}
Большой плосконосый икосододекаэдр		| 2 5/2 3	34.5/2	I	C73	W116	U57	K62	60	150	92	2	7	(20+60){3}+12{5/2}
Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр		| 5/3 2 3	33.5/3	I	C88	W113	U69	K74	60	150	92	2	13	(20+60){3}+12{5/2}
Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр		| 3/25/3 2	(34.5/2)/2	I	C90	W117	U74	K79	60	150	92	2	37	(20+60){3}+12{5/2}
Большой плосконосый додеко- икосододекаэдр		| 5/35/2 3	33.5/3.3.5/2	I	C80	W115	U64	K69	60	180	104	-16	10	(20+60){3}+(12+12){5/2}
Плосконосый икосо- додекододекаэдр		| 5/3 3 5	33.5.5/3	I	C58	W112	U46	K51	60	180	104	-16	4	(20+60){3}+12{5}+12{5/2}
Малый плосконосый икосо- икосододекаэдр		| 5/2 3 3	35.5/2	Ih	C41	W110	U32	K37	60	180	112	-8	2	(40+60){3}+12{5/2}
Малый вывернутый обратноплосконосый икосо- икосододекаэдр		| 3/23/25/2	(35.5/3)/2	Ih	C91	W118	U72	K77	60	180	112	-8	38	(40+60){3}+12{5/2}
Большой биромбо- икосододекаэдр		| 3/25/3 3 5/2	(4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2	Ih	C92	W119	U75	K80	60	240	124	-56		40{3}+60{4}+24{5/2}

Особый случай

Название по Бауэру (Bower)	Рисунок	Символ Витхоффа	Вершинная конфигурация	Группа симметрии	C#	W#	U#	K#	Вершин	Рёбер	Граней	$\chi$	Плот- ность	Граней по типам
Большой биплосконосый биромбо- додекаэдр		| (3/2) 5/3 (3) 5/2	(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2	Ih	--	--	--	--	60	240 (*)	204	24		120{3}+60{4}+24{5/2}

(*): В Большом биплосконосом биромбододекаэдре 120 из 240 рёбер принадлежат четырём граням. Если эти 120 рёбер считать как две пары совпадающих рёбер, где каждое ребро принадлежит только двум граням, то всего будет 360 рёбер и эйлерова характеристика становится равной −88. Ввиду этой вырожденности рёбер многогранник не всеми признаётся как однородный.

Обозначения в колонках

• U# — Однородные номера: U01—U80 (Тетраэдр первый, Призмы с номерами 76+)
• K# — Kaleido software номера: K01—K80 (K_n = U_n-5 для n = 6 to 80) (призмы 1—5, тетраэдр и далее 6+)
• W# — Модели Магнуса Веннинджера: W001—W119
  • 1—18 — 5 выпуклых правильных и 13 выпуклых полуправильных
  • 20—22, 41 — 4 невыпуклые правильные
  • 19—66 — 48 звёздчатых форм/соединений (нерегулярные не даны в этом списке)
  • 67—109 — 43 невыпуклых остроносых однородных многогранников
  • 110—119 — 10 невыпуклых плосконосых однородных многогранников
• $\chi$ — эйлерова характеристика. Однородные мозаики на плоскости соответствуют топологии тора с эйлеровой характеристикой ноль.
• Плотность — плотность многогранника представляет число оборотов многогранника вокруг центра. Число отсутствует для неориентируемых многогранников и для гемиполиэдров (многогранников, имеющих грани, проходящие через центр многогранника), для которых нет чёткого определения плотности.
• Замечание о рисунках вершинных фигур:
  • Светлые отрезки представляют «вершинную фигуру» многогранника. Цветные грани включены в рисунок вершинной фигуры, чтобы видеть их связи. Некоторые пересекающиеся грани нарисованы визуально неверно, поскольку визуально они не показывают, какие части находится впереди.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
• Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 0-521-54325-8.
• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — .
• H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. The Fifty-nine Icosahedra. — University of Toronto studies, 1938. — (mathematical series 6: 1–26.). Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3.
• J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1975.0022. — .
• Roman E. Maeder. Uniform Polyhedra // The Mathematica Journal. — 1993. — Т. 3, вып. 4.

Ссылки

• Stella: Polyhedron Navigator  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 9 июля 2010 года. — Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
• Robert Webb. Uniform Polyhedra and their Duals  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 5 декабря 2015 года.
• Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139-156.
• Uniform indexing: U1—U80, (Tetrahedron first)
  • Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80)  (неопр.). Архивировано 11 сентября 2006 года.
  • Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Roman E. Maeder. The Uniform Polyhedra  (неопр.). MathConsult AG. Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 5 июня 2014 года.
    • All uniform polyhedra by rotation group  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 21 октября 2014 года.
  • Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary  (неопр.). Gratrix.net. Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано из оригинала 10 ноября 2017 года.
  •  (недоступная ссылка — история)
  • James R. Buddenhagen. Uniform Polyhedra  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
• Kaleido Indexing: K1-K80 (Pentagonal prism first)
  • Zvi Har’El. Kaleido  (неопр.). Архивировано из оригинала 20 мая 2011 года.
    • Uniform Solution for Uniform Polyhedra  (неопр.). Архивировано из оригинала 15 июля 2009 года.
  • V. Bulatov. Uniform Polyhedra  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 25 июля 2011 года.
  • Jim McNeill. Uniform Polyhedra  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.
  • U. Mikloweit. Facetings of uniform polyhedra  (неопр.). Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.