Ромбоусечённый икосододекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ромбоусечённый икосододекаэдр
Truncatedicosidodecahedron.jpg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы
62 грани
180 рёбер
120 вершин
Грани 30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
Конфигурация вершины 4.6.10
Развёртка
Truncated icosidodecahedron flat.png
Двойственный многогранник гекзакисикосаэдр
Классификация
Обозначения bD, taD
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Количественные данные
Телесный угол при вершине
Commons-logo.svg Ромбоусечённый икосододекаэдр на Викискладе

Ромбоусечённый икосододека́эдр[1] или усечённый икосододека́эдр[2][3]полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности

Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями)

Родственный многогранник, не являющийся полуправильным.

Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации.

В координатах[править | править код]

Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

где — отношение золотого сечения.

Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики[править | править код]

Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

Расстояния от центра многогранника до центров шестиугольных и квадратных граней превосходят и равны соответственно

Примечательные свойства[править | править код]

Среди всех платоновых и архимедовых тел с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр.

Среди всех платоновых и архимедовых тел ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней).

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]