Усечённый октаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Усечённый октаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный, перестановочный, параллелоэдр, зоноэдр
Комбинаторика
Элементы
14 граней
36 рёбер
24 вершины
Χ = 2
Грани 6 квадратов
8 шестиугольников
Конфигурация вершины 4.62
Двойственный многогранник тетракисгексаэдр
Классификация
Обозначения tO, bT
Группа симметрии Oh (октаэдрическая)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Усечённый окта́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две шестиугольных грани и одна квадратная. Телесный угол при вершине равен в точности

Усечённый октаэдр имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя шестиугольными гранями) двугранные углы равны как в октаэдре; при 24 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) как в кубооктаэдре.

Усечённый октаэдр можно получить из обычного октаэдра, «срезав» с того 6 квадратных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр октаэдра и куба.

В координатах[править | править код]

Усечённый октаэдр с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел

Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики[править | править код]

Если усечённый октаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в усечённый октаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого октаэдра с ребром (она будет касаться только всех шестиугольных граней в их центрах), равен

Расстояние от центра многогранника до центра любой квадратной грани превосходит и равно

Заполнение пространства[править | править код]

С помощью усечённых октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Кроме того, пространство можно замостить усечёнными октаэдрами вместе с усечёнными кубооктаэдрами и кубами; вместе с усечёнными тетраэдрами и кубооктаэдрами.

В природе и культуре[править | править код]

Формы, близкие к усечённому октаэдру, встречаются у кристаллов флюорита (плавикового шпата), пирита, в атомных структурах содалита, фожазита.

Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

В виде усечённого октаэдра был выполнен Adidas Teamgeist, официальный мяч чемпионата мира по футболу 2006 года. Это первый подобный мяч чемпионата мира, состоящий из 14 панелей; ранее мячи изготавливались из 32 панелей и напоминали усечённый икосаэдр.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]