Усечённый додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Усечённый додекаэдр
Truncateddodecahedron.jpg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы
32 грани
90 рёбер
60 вершин
Χ = 2
Грани 20 треугольников
12 десятиугольников
Конфигурация вершины 3.102
Двойственный многогранник триакисикосаэдр
Классификация
Обозначения tD
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Усечённый додека́эдр[1][2][3]полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатах[править | править код]

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

где — отношение золотого сечения.

Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики[править | править код]

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит и равно

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]