Усечённый додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Усечённый додекаэдр
Усечённый додекаэдр
(Здесь можно посмотреть вращающуюся модель)
Тип Полуправильный многогранник
(архимедово тело)
Грани треугольники (20),
десятиугольники (12)
Граней 32
Рёбер 90
Вершин 60
Граней при вершине 3
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный
многогранник
Триакисикосаэдр
Развёртка Truncated dodecahedron flat.png

Усечённый додека́эдр[1][2][3]полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатах[править | править код]

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

где — отношение золотого сечения.

Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики[править | править код]

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит и равно

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]