Вавилонская математика: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
User1712 (обсуждение | вклад) |
Kalendar (обсуждение | вклад) викификация, оформление, ключ сортировки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
::''Данная статья |
:: ''Данная статья — часть обзора [[История математики]].'' |
||
[[ |
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|Вавилонская табличка с вычислением <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br /> = 1.41421296…]] |
||
Вавилоняне писали [[клинопись|клинописными]] значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных [[Вавилония|Вавилонского государства]]. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от [[шумер]]ов |
Вавилоняне писали [[клинопись|клинописными]] значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных [[Вавилония|Вавилонского государства]]. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от [[шумер]]ов — [[Клинопись|клинописное письмо]], счётная методика и т. п.{{sfn |История математики|1970|с=35 }} |
||
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее [[Математика в Древнем Египте|египетской]], а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, [[Геометрическая прогрессия|геометрические прогрессии]]. При решении применялись [[Пропорция (математика)|пропорции]], средние арифметические, проценты. Методы работы с [[прогрессия]]ми были глубже, чем у [[Математика в Древнем Египте|египтян]]. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху [[Хаммурапи]]; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ''ab'' называлось площадью, ''abc'' |
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее [[Математика в Древнем Египте|египетской]], а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, [[Геометрическая прогрессия|геометрические прогрессии]]. При решении применялись [[Пропорция (математика)|пропорции]], средние арифметические, проценты. Методы работы с [[прогрессия]]ми были глубже, чем у [[Математика в Древнем Египте|египтян]]. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху [[Хаммурапи]]; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ''ab'' называлось площадью, ''abc'' — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих [[алгоритм]]ов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также [[Кубическое уравнение|кубические уравнения]] и [[Система линейных алгебраических уравнений|системы линейных уравнений]]. Венцом [[планиметрия|планиметрии]] была [[теорема Пифагора]]. |
||
Как и в [[Математика в Древнем Египте|египетских текстах]], излагается только [[алгоритм]] решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была. |
Как и в [[Математика в Древнем Египте|египетских текстах]], излагается только [[алгоритм]] решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была. |
||
[[ |
[[Файл:Babylonian numerals.jpg|right|thumb|300px|[[Вавилонские цифры|Вавилонские 60-ричные цифры]]]] |
||
Шумеры и вавилоняне использовали [[Шестидесятеричная система счисления|60-ричную позиционную систему счисления]], увековеченную в нашем делении [[круг]]а на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры |
Шумеры и вавилоняне использовали [[Шестидесятеричная система счисления|60-ричную позиционную систему счисления]], увековеченную в нашем делении [[круг]]а на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки. |
||
В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например: |
В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например: |
||
::4,2,10; 46,52 |
:: 4,2,10; 46,52 |
||
Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600 |
Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600 |
||
Строка 18: | Строка 18: | ||
Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле [[Метод Ньютона|метода Ньютона]]{{sfn |История математики|1970|с=47 }}: |
Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле [[Метод Ньютона|метода Ньютона]]{{sfn |История математики|1970|с=47 }}: |
||
::<math>a_{n+1} = (a_n + N/a_n)/2</math> |
:: <math>a_{n+1} = (a_n + N/a_n)/2</math> |
||
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]], плюс сегмент [[круг]]а и усечённый [[конус]]. В ранних документах полагают <math>\pi=3</math>; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Встречается также и необычное правило: [[площадь]] [[круг]]а есть 1/12 от квадрата длины окружности, |
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]], плюс сегмент [[круг]]а и усечённый [[конус]]. В ранних документах полагают <math>\pi=3</math>; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Встречается также и необычное правило: [[площадь]] [[круг]]а есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть <math>\pi^2 R^2/3</math>. Впервые появляется (ещё при [[Хаммурапи]]) [[теорема Пифагора]], причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять [[площадь|площади]] [[Правильный многоугольник|правильных многоугольников]]; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]]: <math>S=\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>. |
||
Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у [[Математика в Древней Греции|греков]]. |
Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у [[Математика в Древней Греции|греков]]. |
||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
||
{{примечания}} |
|||
<references /> |
|||
== Литература == |
== Литература == |
||
Строка 37: | Строка 37: | ||
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=12 |издательство=[[Физматгиз]] |
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=12 |издательство=[[Физматгиз]] |
||
|место=М. |год=1959 |страницы=271-320 }} |
|место=М. |год=1959 |страницы=271-320 }} |
||
* ''Рыбников К.А.'' История математики. М., 1994. |
* ''Рыбников К. А.'' История математики. М., 1994. |
||
* Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. |
* Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976. |
||
* Friberg J. [http://books.google.ru/books?id=1qQtWFHd8noC ''Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics''.] World Scientific, 2005. |
* Friberg J. [http://books.google.ru/books?id=1qQtWFHd8noC ''Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics''.] World Scientific, 2005. |
||
* Friberg J. [http://books.google.ru/books?id=h6GMHxORa3AC ''Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics''.] World Scientific, 2007. |
* Friberg J. [http://books.google.ru/books?id=h6GMHxORa3AC ''Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics''.] World Scientific, 2007. |
||
* '' |
* ''O’Connor, J. J. and Robertson, E. F.'', [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html An overview of Babylonian mathematics], MacTutor History of Mathematics, (December 2000). |
||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
||
* ''Г. |
* ''Г. И. Глейзер.''[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm История математики в школе.] М.: Просвещение, 1964. |
||
* [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/ Mesopotamian Mathematics] {{ref-en}} |
* [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/ Mesopotamian Mathematics] {{ref-en}} |
||
{{История математики}} |
{{История математики}} |
||
{{Древняя Месопотамия}} |
{{Древняя Месопотамия}} |
||
[[Категория:История математики |
[[Категория:История математики]] |
||
[[Категория:Древний Вавилон]] |
[[Категория:Древний Вавилон]] |
||
Версия от 08:32, 7 февраля 2013
- Данная статья — часть обзора История математики.
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.[1]
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора.
Как и в египетских текстах, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была.
Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.
В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:
- 4,2,10; 46,52
Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600
Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц, отдельно для умножения на 1-20, 30…50. Деление m/n они заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n у них были специальные таблицы. Другие таблицы помогали возводить в степень, извлекать корни и даже находить показатель степени n, если дано число вида (эти двоичные логарифмы использовались для подсчёта процентов по кредиту)[2]. Без многопудовой библиотеки таблиц никакие расчёты в Вавилоне были невозможны.
Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле метода Ньютона[3]:
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают ; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть . Впервые появляется (ещё при Хаммурапи) теорема Пифагора, причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте: .
Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Ссылки
- ↑ История математики, 1970, с. 35.
- ↑ История математики, 1970, с. 39.
- ↑ История математики, 1970, с. 47.
Литература
- Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. 1959, 456 с.
- Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.
- Депман И. Я. История арифметики. (1965)
- История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
- Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
- Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
- Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
- Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. World Scientific, 2005.
- Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. World Scientific, 2007.
- O’Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics, MacTutor History of Mathematics, (December 2000).
Ссылки
- Г. И. Глейзер.История математики в школе. М.: Просвещение, 1964.
- Mesopotamian Mathematics (англ.)