Поле (алгебра)

По́ле в общей алгебре — алгебраическая структура, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля.

История

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году). Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используются в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определения

Алгебра над множеством $F$, образующая коммутативную группу по сложению $+$ над $F$ с нейтральным элементом ${\boldsymbol {0}}$ и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$, при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество $F$ с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения $+$ и умножения $*$ ($+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F$, т.е. $\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$) называется полем $\left\langle F,+,*\right\rangle$, если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$
2. Ассоциативность сложения: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
3. Существование нулевого элемента: $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
4. Существование противоположного элемента: $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}$
5. Коммутативность умножения: $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$
6. Ассоциативность умножения: $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
7. Существование единичного элемента: $\exists e\in F\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=a*c+b*c$

Аксиомы 1-4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению $+$ над $F$, аксимомы 5-8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению $*$ над $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$, а 9 аксиома связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее), поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольца ⊃ целостные кольца ⊃ факториальные кольца ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы кольца ⊃ поля

Связанные определения

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение $f$, такое что $f(a+b)=f(a)+f(b)$, $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ и $f(1)=1$. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$, следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число $n$ такое, что сумма $n$ копий единицы равна нулю:

$1\underbrace {+\dots +} _{n}1=n1=0$.

Если такого числа не существует, то характеристика равна $0$ по определению. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

Свойства

• Характеристика поля всегда $0$ или простое число.
  • Поле характеристики $0$ содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$.
  • Поле простой характеристики $p$ содержит подполе, изоморфное полю вычетов $\mathbb {Z} _{p}$ .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно $p^{n}$ — степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида $p^{n}$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из $p^{n}$ элементов, обычно обозначаемое $\mathbb {F} _{p^{n}}$.
• В поле нет делителей нуля.
• Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля $\mathbb {F} _{q}$ изоморфна $\mathbb {Z} _{q-1}$.
• С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если в идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Примеры полей

• $\mathbb {Q}$ — рациональные числа,
• $\mathbb {R}$ — вещественные числа,
• $\mathbb {C}$ — комплексные числа,
• $\mathbb {A}$ — алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле $\mathbb {C}$).
• Числа вида $a+b{\sqrt {2}}$, $a,b\in \mathbb {Q}$, относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в $\mathbb {R}$.
• $\mathbb {Z} _{p}$ — поле вычетов по модулю $p$, где $p$ — простое число.
• $\mathbb {F} _{q}$ — конечное поле из $q=p^{k}$ элементов, где $p$ — простое число, $k$ — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.
• $\mathbb {F} (x)$ — поле рациональных функций вида $f(x)/g(x)$, где $f$ и $g$ — многочлены над некоторым полем $\mathbb {F}$ (при этом $g\neq 0$, а $f$ и $g$ не имеют общих делителей, кроме констант).

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3. Chapter VII.
• Galois, Évariste (1830). "Sur la théorie des nombres". Bulletin des Sciences mathématiques. XIII: 428.
• Поле (алгебра) — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин