Критерий Дарбу

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сумма Дарбу[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция . Рассмотрим разбиение

.

Введем обозначения

,
.

Наконец, рассмотрим суммы

 — нижняя сумма Дарбу,
 — верхняя сумма Дарбу.

Свойства сумм Дарбу[править | править вики-текст]

  • Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу на заданном разбиении.
;
Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения
  • При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться. Верхняя же сумма Дарбу при добавлении точек к имеющемуся разбиению никак не может увеличиться.
,
означает, что есть измельчение разбиения ;
  • Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.
,
Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.
  • Пусть и  — верхний и нижний интегралы Дарбу соответственно. Тогда
;
  • Пусть  — интегральная сумма. Тогда
,
.
  • При увеличении количества точек разбиения верхняя сумма не увеличивается, а нижняя не уменьшается.

Интеграл Дарбу[править | править вики-текст]

Верхним интегралом Дарбу называют число

,

где  — некоторое разбиение множества, а  — его верхняя сумма Дарбу.

Соответственно нижним интегралом Дарбу называют:

,

где  — нижняя сумма Дарбу.

Критерий Дарбу интегрируемости функции[править | править вики-текст]

Приведенные утверждения даны для функции одной переменной.

Пусть вещественнозначная функция определена и ограничена на отрезке . Пусть и  — верхний и нижний интегралы Дарбу функции на заданном отрезке соответственно. Тогда следующие 3 условия эквивалентны:

  • интегрируема по Риману на отрезке ,
  • ,
  • , где и  — некоторое разбиение и его мелкость.

Обобщения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определенный интеграл // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5.
  • Кудрявцев, Л. Д. Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 1.