Мера Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской -алгебре метрического пространства .

Определение[править | править код]

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс открытых подмножеств , на котором определил неотрицательную функцию и

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества множествами из с диаметром, не превосходящим , то есть

и

Мерой Хаусдорфа , определяемой классом и функцией , называется предел

Примеры[править | править код]

  1. Пусть  — совокупность всех шаров в , a , где . Тогда соответствующая мера будет называться -мерой Хаусдорфа. При такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при  — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если ,  — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси и равна -мерному объёму осевого сечения цилиндра , то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература[править | править код]

  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..

Примечания[править | править код]

  1. Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass", Mathematische Annalen Т. 79 (1-2): 157–179, DOI 10.1007/BF01457179 .