Мера Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской $\sigma$-алгебре ${\mathcal {B}}(X)$ метрического пространства $X$. Построены Феликсом Хаусдорфом.

Определение

Рассмотрим некоторый класс ${\mathcal {U}}$ открытых подмножеств $X$, на котором определим неотрицательную функцию $l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}$ и

$\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},$

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества $B\subset X$ множествами из ${\mathcal {U}}$ с диаметром, не превосходящим $\varepsilon$, то есть

$B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}$

и

$\mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots$

Мерой Хаусдорфа $\lambda$, определяемой классом ${\mathcal {U}}$ и функцией $l$, называется предел

$\lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).$

Примеры

1. Пусть ${\mathcal {U}}$ — совокупность всех шаров в $X$, a $l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }$, где $\alpha >0$. Тогда соответствующая мера $\lambda$ будет называться $\alpha$-мерой Хаусдорфа. При $\alpha =1$ такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при $\alpha =2$ — плоской мерой Хаусдорфа.
2. Если $X=\mathbb {R} ^{n+1}$, ${\mathcal {U}}$ — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси $x_{n+1}$ и $l(A)$ равна $n$-мерному объёму осевого сечения цилиндра $A\in {\mathcal {U}}$, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

• Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..