Поверхностные интегралы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода[править | править код]

Определение[править | править код]

Пусть  — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на задана функция . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку . Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за площадь поверхности , рассмотрим сумму

Тогда число называется пределом сумм , если

Предел сумм при называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:

Параметрическая форма[править | править код]

Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций

заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле

где:

Свойства[править | править код]

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции и интегрируемы по областям . Тогда:

  1. Линейность: для любых вещественных чисел .
  2. Аддитивность: при условии, что и не имеют общих внутренних точек.
  3. Монотонность:
    • если , то ;
    • для , если , то .
  4. Теорема о среднем для непрерывной функции и замкнутой ограниченной поверхности :
    , где , а — площадь области .

Поверхностный интеграл второго рода[править | править код]

Определение[править | править код]

Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причём точка изменяется в области на плоскости , ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку , вычислим значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

распространённым на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом

(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость .

Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

или

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где суть функции от , определённые в точках поверхности .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода[править | править код]

где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.

Свойства[править | править код]

  1. Линейность: .
  2. Аддитивность: .
  3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки[править | править код]