Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Определение

Пусть $\Phi$ — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на $\Phi$ задана функция $f(M)=f(x,y,z)$. Рассмотрим разбиение $T$ этой поверхности на части $\Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)$ кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$. Вычислив значение функции в этой точке $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ и, приняв за $\sigma _{i}$ площадь поверхности $\Phi _{i}$, рассмотрим сумму

$I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.$

Тогда число $I$ называется пределом сумм $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$, если

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .$

Предел $I$ сумм $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ при $d(T)\to 0$ называется поверхностным интегралом первого рода от функции $f(M)$ по поверхности $\Phi$ и обозначается следующим образом:

$I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .$

Параметрическая форма

Пусть на поверхности $\Phi$ можно ввести единую параметризацию посредством функций

$x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),$

заданных в ограниченной замкнутой области $\Omega$ плоскости $(u,v)$ и принадлежащих классу $C^{1}$ в этой области. Если функция $f(M)=f(x,y,z)$ непрерывна на поверхности $\Phi$, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности $\Phi$ существует и может быть вычислен по формуле

$I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u,v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,$

где:

$E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},$

$F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',$

$G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.$

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы по областям $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$. Тогда:

1. Линейность: $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ для любых вещественных чисел $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.
2. Аддитивность: $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma$ при условии, что $\Phi _{1}$ и $\Phi _{2}$ не имеют общих внутренних точек.
3. Монотонность:
   • если $f\geqslant g$, то $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$;
   • для $f\geqslant 0$, если $\Phi _{1}\subset \Phi _{2}$, то $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$.
4. Теорема о среднем для непрерывной функции $f$ и замкнутой ограниченной поверхности $\Phi$:

   $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )$, где $\xi \in \Phi$, а $\mu (\Phi )$ — площадь области $\Phi$.

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность $\Phi$, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением $z=z(x,y)$ причём точка $(x,y)$ изменяется в области $(D)$ на плоскости $xy$, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности $\Phi$ определена некоторая функция $f(M)=f(x,y,z)$. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части $\Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)$ и выбрав на каждой такой части точку $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, вычислим значение функции $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ в данной точке и умножим его на площадь $D_{i}$ проекции на плоскость $xy$ элемента $\Phi _{i}$, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

$\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i})D_{i}.$

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

$f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,$

распространённым на выбранную сторону поверхности $\Phi$, и обозначают символом

$I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy$

(здесь $dx\,dy$ напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость $xy$).

Если вместо плоскости $xy$ спроектировать элементы поверхности на плоскость $yz$ или $zx$, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

$\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz$ или $\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.$

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

$\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,$

где $P,Q,R$ суть функции от $(x,y,z)$, определённые в точках поверхности $\Phi$.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

$\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,$

где $\nu$ — единичный вектор нормали поверхности $\Sigma$, $i$ — орт.

Свойства

1. Линейность: $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \limits _{\Phi }g\,dx\,dy$.
2. Аддитивность: $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$.
3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

• Криволинейный интеграл
• Поток векторного поля
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Теорема Стокса

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Мир математических уравнений Архивная копия от 21 ноября 2019 на Wayback Machine.