Список квадратурных формул

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.

Обозначения[править | править код]

В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:

,
  •  — интегрируемая функция;
  •  — веса интегрирования;
  •  — система координат мастер-элемента;
  •  — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.

В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные , для обозначения координат мастер-элемента — .

Одномерный интеграл[править | править код]

Численное интегрирование на мастер-элементе функции методом гаусса-3

Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.

  • Область интегрирования: отрезок ;
  • Мастер-элемент: отрезок ;
  • Переход на мастер-элемент: ;
  • Переход с мастер-элемента: ;
  • Якобиан: .
Номер Число точек Порядок интегрирования Дополнительно
1 1 1 Метод прямоугольников
2 2 1 Метод трапеций
3 2 3 Метод Гаусса-2
4 3 3 Метод Симпсона
5 3 5 Метод Гаусса-3
6 4 7 Метод Гаусса-4
7 5 9 Метод Гаусса-5

Двухмерный интеграл[править | править код]

Квадратный мастер-элемент[править | править код]

Квадратный мастер-элемент с изображенной 12-и точечной формулой
  • Область интегрирования: прямоугольник
  • Мастер-элемент: квадрат
  • Переход на мастер-элемент:
;
  • Переход с мастер-элемента:
;
  • Якобиан: .

Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёх угольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Номер Число точек Порядок интегрирования Дополнительно
1 1 1 Метод прямоугольников (метод среднего)
2 4 1 Метод трапеций
3 4 3 Метод Гаусса-2
4 12 7





Число узлов минимально[1].

Треугольный мастер-элемент[править | править код]

Треугольный мастер-элемент, с точками Гаусса-4
  • Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ;
  • Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами .

Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их .

Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица :

Матрица коэффициентов обратна к : .

  • Переход на мастер элемент:
  • Переход с мастер элемента:
  • Якобиан : .
Номер Число точек Порядок интегрирования Дополнительно
1 1 1 Метод среднего
2 3 1 -
2 3 2 Метод Гаусса-3
4 4 3 Метод Гаусса-4
5 7 3 Метод Ньютона-Котеса (Newton-Cotes (англ.))

Трёхмерный интеграл[править | править код]

Кубический мастер-элемент[править | править код]

Кубический мастер-элемент, с изображенной 14-и точечной формулой
  • Область интегрирования: параллелепипед
  • Мастер-элемент: куб
  • Переход на мастер-элемент:
  • Переход с мастер-элемента:
;
;
  • Якобиан: .

Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника[уточнить], но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Номер Число точек Порядок интегрирования Дополнительно
1 1 1 Метод прямоугольников (метод среднего)
2 8 3 Метод Гаусса-2
3 14 5 Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2]

Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.

  • Порядок: 7, число точек: 34
Номер точки Дополнительно
1 ,
,
,
,
,
,
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

Тетраэдральный мастер-элемент[править | править код]

Тетраэдральный мастер-элемент с точками Гаусса-11
  • Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами .
  • Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами .

Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их :

Матрица коэффициентов определяется, как: , где

  • Переход на мастер-элемент:
  • Переход с мастер-элемента:
  • Якобиан : .
Номер Число точек Порядок интегрирования Дополнительно
1 1 1 Метод среднего
2 4 3 Метод Гаусса-4
3 11 4 Метод Гаусса-11

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

Ссылки[править | править код]